LOGIQUE

On s'accorde toujours à faire commencer la logique avec celles des œuvres d'Aristote qui seront ultérieurement rassemblées sous le titre commun d'Organon – mot qui marque bien le caractère instrumental et préparatoire à la philosophie qu'Aristote lui reconnaissait. Elle avait été préparée par le développement de la dialectique, qu'Aristote fait remonter à Zénon d'Élée ; mais celle-ci était conçue comme un art plutôt que comme une science, donnant des préceptes pour la pratique de la discussion publique. Aristote la prolonge avec ses Topiques et ses Réfutations des sophismes ; mais c'est seulement avec l'Hermeneia et les Premiers Analytiques qu'il crée la logique. Ce dernier ouvrage apporte en effet deux innovations capitales. La plus remarquée a été l'invention du syllogisme, à laquelle Aristote parvient en découvrant, par une réflexion sur l'insuffisance du procédé platonicien de la division, le rôle du moyen terme. Mais la plus fondamentale, car c'est proprement avec elle que commence la logique en tant que science formelle, est l'introduction des variables, c'est-à-dire la substitution à une proposition concrète telle que « L'homme est mortel », du simple schéma formel de cette proposition, dont le contenu a été évacué : « A est B » ou, comme dit plutôt Aristote, « B appartient à A, est prédiqué de A ». Il n'est d'ailleurs pas certain qu'il ait perçu d'emblée toute la portée du procédé. Au contraire, la syllogistique a été aussitôt célèbre.

Bien qu'Aristote traite les syllogismes comme des inférences, au sens strict, un syllogisme catégorique est une proposition conditionnelle complexe – une implication – de la forme (p∧q) → r. Il se compose de trois propositions (deux prémisses p et q et une conclusion r) et comprend trois termes ; chacune des propositions p, q, r comprend deux termes reliés par l'une des quatre relations syllogistiques, et chaque terme figure dans deux propositions exactement. Dans une forme syllogistique qui est appelée aussi « mode », à la place des termes (des concepts) figurent des lettres (des variables). Les scolastiques formuleront les syllogismes explicitement sous forme de schémas d'inférence « p, q, donc r ». La prémisse appelée majeure relie le moyen terme (symbolisé ci-dessous par B) au majeur (A), qui est le prédicat de la conclusion ; la mineure relie le moyen terme au mineur (C), qui est le sujet de la conclusion ; la conclusion, obtenue par l'intermédiaire du moyen terme, relie le mineur au majeur. Le moyen terme figure dans chacune des prémisses, mais est absent de la conclusion.

Les quatre relations syllogistiques symbolisées par les voyelles a (« tout ... est - - - »), e (« aucun ... n'est - - - »), i (« quelque ... est - - - »), o (« quelque ... n'est pas - - - ») donnent lieu respectivement à une proposition universelle affirmative (« tout A est B » ; en symboles : « AaB »), à une universelle négative (AeB), à une particulière affirmative (AiB) et à une particulière négative (AoB). Ces quatre relations ont été utilisées par la scolastique ; de son côté, Aristote utilise les relations converses ã (« - - - est prédiqué de tout ... »), ẽ (« - - -n'est prédiqué d'aucun ... »), ĩ (« - - - est prédiqué de quelque ... »), õ (« - - - n'est pas prédiqué de quelque ... »). Ces relations (directes aussi bien que converses) sont à la base de la théorie de l'opposition ; depuis Apulée, on les schématise par le carré logique :

Aristote a divisé les formes syllogistiques en trois figures selon la position du moyen terme par rapport au couple des deux termes extrêmes. Plus tard (entre Boèce, au v^e siècle, et Pierre d'Espagne, au xiii^e), on y a ajouté une quatrième figure dite « galénique » et on a redéfini les figures selon la position du moyen terme dans les deux prémisses (nous les écrivons ici comme schémas d'inférence ; x, y, z sont des variables ayant pour valeurs les relations syllogistiques converses ã, ẽ, ĩ, õ ; la barre « – » signifie « donc ») :

Dans chaque figure, on peut construire 4³ = 64 modes. Le problème de la syllogistique consiste dans la détermination des modes logiquement valides parmi les 264 modes possibles dans les quatre figures. Les modes valides portent des noms artificiels contenant trois voyelles qui désignent les relations syllogistiques dans les trois propositions qui composent le syllogisme, et des consonnes qui indiquent comment les réduire aux syllogismes « parfaits » de la première figure considérés par Aristote comme évidents.

Prenons comme exemple le mode Barbara (1^re figure) : il correspond à la forme « si AãB et BãC, alors AãC », c'est-à-dire « si A est prédiqué de tout B et B de tout C, alors A est prédiqué de tout C » (formulation aristotélicienne), qui correspond au schéma d'inférence « tout B est A, tout C est B, donc tout C est A » (formulation scolastique), soit en symboles :

La syllogistique d'Aristote repose sur des hypothèses qui touchent uniquement à la nature des termes (des concepts) : seuls sont admis les termes non vides pour lesquels il existe un terme supérieur, un terme inférieur et un terme contraire. Sont donc exclus aussi bien les termes singuliers et les noms propres (« Socrate est un homme » n'est pas une forme catégorique de la syllogistique aristotélicienne) que les termes vides et les termes à extension maximale. Il s'ensuit immédiatement la validité de la subalternation (conclusion de AãB à Ar̃B, et de AẽB à AõB). Pour Aristote, les propositions universelles ont une portée existentielle : AãB entraîne l'existence d'au moins un B qui est A ; AẽB, l'existence d'au moins un B qui n'est pas A. Depuis Frege (et même avant), la subalternation n'est pas considérée comme valide.

Parmi les modes possibles de syllogismes, Aristote en reconnaît 14 comme valides. À la suite de Théophraste, les scolastiques compteront au total 19 modes valides. Aristote prouvera la validité par un procédé de réduction aux modes « parfaits » de la première figure (Barbara, Celarent, Darii, Ferio) à l'aide de la conversion simple (permutation des termes d'une particulière affirmative AĩB ou d'une universelle négative AẽB) ou de la conversion partielle (de AãB, on peut déduire BĩA ; de même, de AẽB, on peut déduire BõA), de la réduction à l'impossible et de l'ecthèse (procédé qui revient à exhiber un modèle partiel). Cette réduction repose sur des lois de la logique propositionnelle dont certaines seront explicitées par les stoïciens. Aristote rejette ensuite les formes non valides par des contre-exemples. En plusieurs chapitres, qui ont été probablement ajoutés après coup et dont l'interprétation reste très difficile, sont introduites les notions modales et une théorie des syllogismes modaux.

Le syllogisme est-il une loi logique ou une inférence ? Depuis Jan Łukasiewicz (1878-1956), qui a le premier souligné les différences entre la formulation aristotélicienne en termes de conditionnel (implication) et la version scolastique comme schéma d'inférence, le débat exégétique n'est pas clos. La différence, importante du point de vue logique, est celle qui distingue un schéma d'inférence, présenté comme valide, d'une loi logique posée comme vraie et justifiant la validité de l'inférence qui lui correspond. Même si la syllogistique d'Aristote est motivée par sa théorie de la science et par sa métaphysique, qu'elle épouse fidèlement – par exemple quant au rôle éminent que joue le moyen terme dans les syllogismes scientifiques –, elle ne présuppose pas cette dernière, car sa validité ne dépend d'aucune thèse métaphysique.

La syllogistique était préparée par l'analyse des propositions dans l'Hermeneia. Toute proposition (déclarative) est ramenée à la forme attributive. Il y a autant de manières d'attribuer que de catégories, mais, en fait, Aristote considère surtout l'attribution selon la catégorie de la qualité, et néglige notamment les propositions de relation. Outre les universelles et les particulières, il connaît les singulières, mais celles-ci n'entreront pas dans sa syllogistique. Il s'interroge sur les diverses façons dont les propositions peuvent s'opposer entre elles, en examinant aussi la question pour le cas des propositions modales.

La syllogistique se prolongera par des théories concernant la démonstration, la définition, l'induction.

On a beaucoup discuté pour savoir si la logique d'Aristote était construite en extension ou en compréhension. En fait, l'interprétation compréhensiviste, qui s'accorde mieux à l'ensemble de sa philosophie, commande l'analyse de la proposition, tandis que dans la syllogistique domine l'interprétation extensive, mieux adaptée aux exigences d'une logique formelle.

On doit à Théophraste, successeur d'Aristote à la tête du Lycée, l'addition de cinq modes « indirects » à ceux de la première figure, l'introduction des syllogismes totalement hypothétiques, enfin une reconstruction de la syllogistique modale fondée, contrairement à Aristote, sur une conception différente du possible contingent et sur l'interprétation « externe » des modalités ; c'est de celle-là que s'inspireront plutôt les médiévaux.

Aristote avait eu à affronter les critiques des dialecticiens de l'école de Mégare. L'un d'eux, Eubulide, avait imaginé, entre autres paradoxes, celui du menteur. Fidèles à l'enseignement éléatique, posant une alternative entre l'être et le non-être, ils rejetaient l'être en puissance et, plus généralement, s'efforçaient de ramener les notions modales sur le plan de l'assertion pure. Philon définissait l'implication entre deux propositions à la manière exactement de l'« implication matérielle » des modernes. Pour échapper aux paradoxes qui en résultaient, son maître Diodore Cronos y introduisait une notion modale, mais pour réduire ensuite les nuances modales à de simples différences temporelles ; l'impossible, par exemple, c'est simplement ce qui n'est pas vrai ni ne le sera. Il démontrait cette proposition par un argument jugé irrésistible.

C'est sur l'enseignement des mégariques que se fonde la logique des stoïciens. La réputation de Chrysippe comme logicien égalait, dans l'Antiquité, celle d'Aristote. La différence essentielle entre les deux logiques est que les variables des stoïciens, qu'ils désignaient par les nombres ordinaux, symbolisent des propositions entières et non de simples noms. C'est la première forme du moderne calcul des propositions. Ils connaissaient les lois de ses principaux connecteurs. Parmi eux, l'implication présentait, probablement chez Chrysippe, une forme nouvelle, dite « connexe », qui annonce ce que sera l'implication stricte de Lewis. Ils posaient, au départ, cinq propositions « indémontrées », dont voici l'une : « Si le premier, le second ; or le premier, donc le second », qui correspond au modus ponens de nos syllogismes hypothético-catégoriques. De là, ils démontraient, selon des règles explicitement énoncées, une multitude de propositions de logique, avec un scrupule formaliste bien plus poussé que chez Aristote. Ils distinguaient expressément entre le raisonnement en termes concrets et son schéma formel, le « trope » ; et de même entre l'inférence et la loi qui la justifie, en établissant correctement le rapport entre les deux. Longtemps mal comprise et souvent dépréciée, cette logique nous apparaît aujourd'hui, bien que nous ne la connaissions que par des témoignages fort incomplets, égale en intérêt à celle d'Aristote. Elles ne sont pas, comme on l'a longtemps cru, rivales, mais complémentaires, traitant de deux chapitres différents de logique.

Après Théophraste et Chrysippe s'ouvre une période de syncrétisme, où des éléments stoïciens sont amalgamés à la logique aristotélicienne, sans que rien d'important vienne s'y ajouter. Apulée (ii^e siècle) imagine le tableau quadratique de l'opposition, Porphyre introduit les cinq prédicables, Galien (qui n'est pas, comme on l'a cru, l'inventeur de la quatrième figure) a l'idée d'une logique des relations, Boèce développe la théorie des syllogismes hypothétiques. Aussi importants pour l'histoire de la logique sont les commentateurs d'Aristote, principalement Alexandre d'Aphrodise (ii^e-iii^e siècle), ou les auteurs qui nous renseignent sur des œuvres aujourd'hui perdues, comme le fait Sextus Empiricus (ii^e-iii^e siècle) pour la logique mégarico-stoïcienne. Pendant cette période, le latin prend la suite du grec et devient progressivement, pour des siècles, la langue de la logique. C'est surtout dans les traductions latines de Boèce, accompagnées de ses commentaires, que les premiers médiévaux apprendront la logique.

En Europe, la logique, comme le reste, sera mise en sommeil par les invasions barbares. Mais elle était tenue en honneur à Bagdad, où un collège officiel traduisait en arabe les classiques grecs, et où al-Fārābī intégrait la logique d'Aristote à la culture islamique. Ultérieurement Avicenne puis Averroès contribueront au réveil de la logique, les conquérants arabes apportant dans leurs bagages celle d'Aristote et de ses commentateurs. La logique ne reprend vraiment en Occident qu'avec la scolastique, liée elle-même à la naissance des universités au xii^e siècle.

La logique fait partie de l'enseignement dispensé dans les facultés des arts, comme troisième année du trivium. Elle est largement utilisée aussi comme moyen d'argumentation et de discussion dans les facultés supérieures, notamment celles de théologie. La longue querelle des universaux est partiellement commandée par cette division, la théologie officielle favorisant les « réaux », tandis que la doctrine des « nominaux », expressément condamnée par l'Église, visait surtout à débarrasser la logique de toute métaphysique.

Au début du xii^e siècle, on ne connaît guère encore que les premiers livres de l'Organon. Le principal promoteur de la logique est Abélard. Inspirée de Boèce et de Priscien, sa Dialectica, qui servira longtemps de manuel, dégage le rôle de la « copule », annonce la future théorie des « conséquences », distingue expressément entre les deux façons d'entendre les propositions modales. À la fin du siècle commencera, avec une connaissance plus complète de l'œuvre d'Aristote, la période de l'ars nova, qu'on opposera alors à l'ars vetus.

Au xiii^e siècle apparaissent les grands traités, dont les principaux sont les Introductiones in logicam de Guillaume de Shyreswood et les Summulae logicales de Pierre d'Espagne. Les intentions pédagogiques y sont manifestes : en témoignent l'introduction de diverses formules mnémotechniques comme barbara, celarent, darii, ferio, etc. et l'usage de procédés quasi mécaniques pour déterminer les syllogismes valables, par élimination de ceux qui violent l'une ou l'autre de quelques règles initialement posées. On introduit les modes subalternes, les syllogismes à termes singuliers (mais non la quatrième figure qui, d'origine inconnue, n'interviendra qu'à la fin du Moyen Âge) ; on cultive la logique modale, on s'intéresse aux sophismes.

Une scission s'accuse bientôt entre les antiqui et les moderni. Les premiers, attachés à la tradition, sont les grands docteurs qui intègrent la logique à ce système philosophico-théologique où Thomas d'Aquin accommode la philosophie d'Aristote à l'exposé des dogmes chrétiens. Plus hardis, les autres reprennent, sous l'impulsion de Guillaume d'Ockham, princeps nominalium, la conception d'une logique autonome, maintenue sur le plan formel de l'expression linguistique. À l'exception de Walter Burleigh, c'est à cette seconde tendance qu'appartiennent, après Ockham, les grands logiciens du xiv^e siècle, Jean Buridan et Albert de Saxe.

Les deux théories les plus originales de la logique médiévale sont celle des suppositions et celle des conséquences. La première, liée à la hiérarchie des « intentions », remplissait en partie l'office que nous demandons aujourd'hui à la distinction des niveaux du langage. La « supposition » d'un terme, c'est, au sens propre du mot, ce qui est mis sous ce terme. La principale distinction est celle de la supposition formelle (quand un terme renvoie normalement aux choses qu'il représente) et de la supposition matérielle (quand il est à lui-même son propre suppôt, comme dans « homme est un substantif »). D'autres distinctions, plus ou moins subtiles, et variant selon les auteurs, s'y ajoutaient.

Le mot de « conséquence » désigne d'abord, depuis Abélard, la proposition conditionnelle, mais bientôt aussi la validité d'un raisonnement, lequel peut s'énoncer sous la forme d'une proposition conditionnelle complexe, où la conjonction des prémisses forme l'antécédent, et la conclusion le conséquent. Pour analyser les différents sens du si ou du cum qui introduisent la condition, on est amené à distinguer entre conséquences matérielles et conséquences formelles, puis à subdiviser celles-ci en conséquences simples et conséquences ut nunc. Pareille étude conduit à énoncer nombre de lois que retrouvera le moderne calcul des propositions, par exemple les lois de dualité entre conjonction et disjonction, avec seulement cette différence que les médiévaux, au lieu de les exprimer directement, décrivent les lois logiques dans la métalangue. Du même coup, on voit se déplacer peu à peu le centre d'intérêt de la logique. La syllogistique se subordonne, comme un cas spécial, à une théorie générale des conséquences, qui normalement la précède. Ce renversement apparaît bien chez Burleigh, qui remet à sa place dérivée la théorie du syllogisme, expédiée en quelques lignes. Et Buridan, suivi par Albert de Saxe, ébauchera une présentation axiomatique des lois de la déduction.

Avec la compilation de Paul de Venise commence le déclin de la logique scolastique. Elle se survivra pendant des siècles, le plus souvent associée à la philosophie thomiste, mais appauvrie, plus ou moins altérée, et à l'écart du mouvement intellectuel.

En marge de la scolastique, Raymond Lulle pensait avoir trouvé, par son Grand Art, le moyen de convertir infailliblement les infidèles. S'il n'y a rien à retenir de sa technique, qui a été souvent moquée et qui frise en effet le ridicule, du moins l'idée d'une mécanisation des opérations logiques allait-elle, par de tout autres moyens, faire ensuite son chemin.

À partir de la Renaissance, la logique connaît une longue période de relative torpeur. L'humaniste naissant s'oppose à tout ce qui rappelle l'enseignement scolastique et l'autorité d'Aristote. L'intérêt se déplace de la logique vers l'art de la dialectique et la recherche d'une méthode. Ces deux traits se remarquent dans le premier ouvrage de logique écrit en français, la Dialectique (1555) de Pierre de la Ramée (Ramus), qui avait commencé sa carrière par de violentes attaques contre Aristote. Les modifications qu'il apporte à la syllogistique sont assez anodines, mais les modi ramistorum ont été célèbres et ont rivalisé pendant un temps avec ceux d'Aristote. Succédant à l'humanisme de la Renaissance, l'avènement de la physique moderne, qui demande son organon à la mathématique, et non plus à la logique, ajoute au discrédit où celle-ci est tombée. Ce que veulent maintenant les philosophes, c'est une méthode pour connaître la vérité des choses, et non pour assurer seulement la cohérence du discours. Cet esprit nouveau anime, assez paradoxalement, la plus célèbre des logiques de l'époque, celle dite de Port-Royal (1662) où, pendant deux siècles, les « honnêtes gens » prendront contact avec cette discipline. Elle y est réduite à ses éléments essentiels et traitée sur des exemples concrets ; son propos est d'apprendre à juger sainement plutôt qu'à raisonner correctement ; elle est couronnée, comme chez Pierre de la Ramée, par des conseils de méthode, directement inspirés de Descartes et de Pascal.

L'exception la plus considérable à cette désaffection générale pour la logique est celle de Leibniz. En logique comme ailleurs, ce philosophe de la continuité évite la rupture. Il accepte ce qui a été fait, il le reprend, mais pour l'approfondir. La logique traditionnelle n'est qu'un échantillon d'une logique générale, qui reste à établir. La syllogistique est une des plus belles inventions de l'esprit humain, car, dans la mesure où elle réussit à mettre en forme les raisonnements, un art d'infaillibilité y est contenu. Mais elle n'y parvient qu'imparfaitement, étant trop assujettie au langage naturel, avec ses irrégularités logiques, et à la forme orale de ce langage. Le modèle dont il faut s'inspirer, c'est celui de l'algèbre, dont le langage est constitué entièrement de symboles visuels, et dont les opérations consistent à manier ces symboles selon certaines règles précises qui en garantissent la correction. Seulement, le langage algébrique est limité à la quantité ; il s'agit, en s'inspirant de son exemple, de généraliser le procédé, de manière à pouvoir ramener tout raisonnement, quel qu'en soit l'objet, à un simple calcul sur des signes, par une suite d'opérations expressément réglées. D'où les deux projets étroitement associés pour parvenir à cette nouvelle logique, unissant la généralité de la logique traditionnelle à la rigueur de l'algèbre : construire une lingua characteristica universalis et, par son moyen, un calculus ratiocinator. Cette conception audacieuse marque le passage de la logique ancienne à la logique moderne, même si la première survit longtemps à Leibniz et si la seconde ne devait se développer que bien après lui. Avec l'introduction des variables, Aristote avait créé la logique formelle ; avec la réduction du raisonnement à un calcul, on accède à une logique formaliste.

En une multitude de brouillons, de notes, d'essais, Leibniz a, durant toute sa vie, travaillé à l'élaboration de cette algèbre générale ou mathématique universelle, en abordant de diverses manières son double problème.

Partant de la syllogistique, Leibniz construit des calculs logiques rédigés dans un symbolisme nouveau de type algébrique et étend son calcul au-delà du syllogisme. Il conçoit toute une hiérarchie de calculs auxquels son calcul logique devra servir de base : le calcul arithmétique (y compris l'arithmétique binaire), le calcul géométrique, le calcul algébrique, l'analyse infinitésimale. Cette nouvelle logique est au cœur de la méthodologie de Leibniz : elle est pour lui non seulement un art de juger, mais encore un art d'inventer. La clé de l'invention consiste dans l'établissement d'un inventaire complet des formes possibles par l'art combinatoire. Le De Arte combinatoria (1666), entre autres, démontre la complétude de la syllogistique. Aux 19 modes de la scolastique sont ajoutés les modes « faibles », obtenus par la subalternation de la conclusion dans les modes valides. Sur les 256 syllogismes possibles, Leibniz obtient 24 modes valides, 6 dans chaque figure.

Le premier pas vers la nouvelle logique consiste dans la conversion de la syllogistique en un calcul fondé sur les lois de l'opposition conformément au carré logique et sur une nouvelle définition des quatre relations syllogistiques. Leibniz en propose successivement deux versions. Dans la formulation I, il utilise la copule traditionnelle « est » et la constante « Ens » (« un être »), ce qui revient à admettre un concept suprême et des concepts vides et permet ainsi d'exprimer le caractère vide ou référentiel (non vide) d'un concept ; dans la formulation II, la copule est remplacée par l'égalité.

Pour permettre des comparaisons, on indiquera dans la colonne III du tableau ci-dessous l'interprétation ensembliste (contrairement à I et II, où A, B, ... désignent des termes indépendamment de toute interprétation, dans III, les mêmes lettres désignent leurs extensions, c'est-à-dire des classes) :

Dans la version II, la syllogistique est transformée en un calcul abstrait qui admet plusieurs interprétations (en particulier, l'interprétation intensionnelle en termes de concepts et l'interprétation extensionnelle en termes de classes). Ce sont les calculs leibniziens qui dissocient pour la première fois la formulation d'un calcul de ses interprétations possibles. Par rapport à la syllogistique traditionnelle, toutes les propositions catégoriques sont réduites aux égalités ; le remplacement de la copule « est » par l'égalité permet de substituer des expressions équivalentes dans les démonstrations. L'asymétrie entre le sujet et le prédicat est également supprimée. La version II présente, en réalité, une première ébauche d'un calcul booléen.

Une troisième version leibnizienne particulièrement élégante de la syllogistique traite celle-ci comme une doctrine axiomatique de continente et de contento (doctrine du contenant et du contenu) interprétée en compréhension. Cette version repose sur deux axiomes, trois règles (conversion, subalternation et réduction à l'absurde) et deux définitions (celle de l'inclusion par AaB et celle de l'exclusion par AeB). Les axiomes sont ainsi formulés : 1. L'incluant de l'incluant est l'incluant de l'inclus (mode Barbara de la première figure). 2. L'incluant de l'excluant est l'excluant de l'exclu (mode Celarent de la première figure).

À partir de la syllogistique, Leibniz s'est efforcé d'élaborer un calcul logique plus général. Dans ses premières tentatives, il imite le symbolisme arithmétique : la décomposition des concepts complexes est représentée symboliquement par la décomposition des nombres naturels comme produits de nombres premiers :

où, par exemple, corps sensible (2 × 3) = animal (6). (Remarquons que le nombre 1 symbolisera l'univers du discours chez Boole et chez Schröder, et que Gödel utilisera la décomposition des nombres en produits de nombres premiers pour représenter les énoncés.) Devant les difficultés liées à la représentation de la négation, Leibniz finira par abandonner le symbolisme arithmétique au profit du symbolisme algébrique. Le symbolisme algébrique permet de produire les expressions ou les formules du calcul au moyen de règles de construction ; le calcul proprement dit consistera alors dans la « production des relations par le moyen de transformations des formules d'après certaines lois prescrites » (Phil. Schriften, VII, p. 206). Comme les calculs de la logique mathématique du xx^e siècle, le calcul leibnizien est édifié en deux étapes : en premier lieu, on fixe d'abord les règles de construction qui permettent de fabriquer des formules ou expressions bien formées ; en second lieu, on précise des règles de transformation des formules qui assurent le passage d'une formule déjà admise (d'une thèse) à une thèse nouvelle. L'alphabet ou l'ensemble des caractères est constitué de lettres : A, B, C, ... Une formule est « ce qui est composé de plusieurs caractères » (ibid., p. 207) et dont les combinaisons sont autorisées par les règles de construction.

Un calcul est simple s'il contient une seule opération de composition ; lorsqu'on « combine des modes divers de connexion des caractères » (ibid., p. 31) comme dans le calcul algébrique, il est composé.

Dans ses travaux ultérieurs, Leibniz ajoute à la liste des termes la constante « Ens », plus tard la constante « Nihil » ; de plus, il finit par remplacer la copule « est » par « inest » (« est contenu dans »). Dans ses calculs, il énonce des conditions de compatibilité et d'incompatibilité, formule la réflexivité de la copule « est », la symétrie et la transitivité de l'égalité, la contraposition, la condition d'égalité (« A = B si et seulement si A est B et B est A »), l'idempotence, la commutativité et l'associativité pour la combinaison des termes (notée d'abord multiplicativement, ensuite additivement), une condition d'incompatibilité (« A est incompatible avec B si et seulement si A est non B », le théorème « Nihil est inclus dans A »), la définition du « propre » (A est propre s'il n'existe pas de B tel que A soit B non B), etc.

Les systèmes leibniziens forment des calculs abstraits, construits indépendamment de toute interprétation, bien que l'auteur développe en même temps les interprétations qu'il envisage de leur donner. Ces calculs admettent : 1. une interprétation intensionnelle (les lettres sont interprétées comme des concepts non vides, des propriétés) ; 2. une interprétation extensionnelle (les lettres deviennent des extensions de concepts et on obtient alors une logique des classes) ; 3. une interprétation propositionnelle (les lettres deviennent des propositions) ; 4. une interprétation modale (la constante Ens représente la vérité nécessaire – vérité logique – et « propre » signifie « possible »).

Dans toutes les formulations, Leibniz tient à préserver la validité de la syllogistique, y compris la subalternation et la conversion partielle. Bien que sa formalisation ne soit pas complète et qu'il énonce souvent ses théorèmes dans la langue naturelle, son procédé est syntaxique : les lois du système sont dérivées de manière purement formelle à partir des axiomes et à l'aide de règles, indépendamment de la signification des mots employés. Cependant, Leibniz ne perd jamais de vue l'interprétation ou les interprétations qu'il entend donner à ses calculs.

Parmi les notions sémantiques envisagées par Leibniz, la plus importante est la validité, définie comme vérité dans tous les mondes possibles.

Au cours de ses nombreux travaux, Leibniz a fait maintes découvertes que retrouvera la logique contemporaine, par exemple la traduction des propositions classiques en existentielles, l'isomorphisme entre le cas des notions et celui des vérités. Mais son respect pour la tradition l'a maintes fois entravé dans ses progrès. En particulier, il admet comme un principe incontestable que dans toute proposition affirmative vraie le prédicat est contenu, explicitement ou implicitement, dans le sujet. Ce qui suppose l'interprétation de la proposition en compréhension, et invite à réduire toute proposition à la forme attributive et catégorique. Aussi, malgré l'intérêt qu'il avait porté à ces « conséquences asyllogistiques » que lui avait révélées Jungius, malgré l'étude qu'il avait faite de diverses relations, se trouve-t-il souvent ramené dans les ornières de la logique traditionnelle.

La plupart des écrits de Leibniz, notamment ceux de logique, n'ont été publiés que tardivement et progressivement. Le peu qu'on en connaissait n'a donc eu qu'une influence limitée. Ainsi, quand le mathématicien Leonhard Euler imagina la représentation des syllogismes par des combinaisons de cercles, il ne se doutait pas que Leibniz l'avait devancé. Cependant, divers mathématiciens, dans le siècle qui suivit, se sont inspirés de son idée d'une mathématique universelle et d'un calcul logique, entre autres G. Ploucquet, Johann Heinrich Lambert, Holland, Castillon. Mais, après ces détours, ils retombent finalement, comme Euler, sur la logique traditionnelle. Ce sera encore le cas de J. D. Gergonne qui, après avoir posé les bases d'une « dialectique rationnelle » (1817) entièrement extensive, fondée sur un système exhaustif des cinq relations possibles entre deux classes, reconnaît qu'elle n'a pas de correspondant dans le langage ordinaire et, au lieu de construire alors le langage adéquat, s'applique à retrouver les lois classiques. Il n'y a guère que Bernard Bolzano qui, dans sa Wissenschaftslehre (1837), annonce les problèmes et préfigure le style de la logique mathématique contemporaine.

La logique de Bolzano, comme celle de ses prédécesseurs, est englobée dans une théorie de la science dont le but est d'explorer toutes les activités mises en œuvre dans la construction d'une science. Sa théorie de la science part donc de la logique formelle, exposée dans les deux premiers volumes de la Wissenschaftslehre (1837), suivie d'une théorie de la connaissance et aboutissant à une heuristique et à une « stylistique » des traités scientifiques. Comme pour Leibniz, le but ultime de la logique consiste, pour Bolzano, dans la présentation du savoir à l'intérieur d'une série encyclopédique de traités scientifiques. Mais, tout d'abord, l'auteur transforme la conception traditionnelle des objets logiques. À la base se trouve le concept de proposition en soi (Satz an sich). La logique n'est ni une théorie du jugement (celle-ci relève de la psychologie) ni une théorie des énoncés (qui relève de la grammaire), mais une théorie des rapports entre les propositions (et leurs parties, les « représentations en soi », qu'on peut en première approximation assimiler aux concepts ou idées au sens objectif). La notion de proposition est première : elle ne résulte pas d'une abstraction. C'est une entité intensionnelle : elle est le sens d'un énoncé, la « matière » ou le « contenu » d'un jugement – ce qui est invariant par rapport à une traduction ou une paraphrase. Les propositions sont des entités qui n'ont pas d'existence réelle dans l'espace ou dans le temps et qui forment un « troisième monde » (das dritte Reich), expression reprise par Gottlob Frege et par Karl Popper. Toute connaissance subjective, humaine, divine ou autre, tout jugement ou énoncé doué de sens n'est qu'une appréhension ou appropriation de ce sens intemporel par des actes psychiques ou des signes linguistiques. Deuxième propriété fondamentale des propositions : elles sont susceptibles de prendre l'une des deux valeurs de vérité. Elles se divisent donc en vérités en soi et faussetés en soi. Bolzano pense avoir démontré l'existence d'une infinité de vérités en soi par récurrence (le passage de la énième proposition vraie « p » à la (n + 1)-ième est effectué en annexant à la proposition « p » le prédicat « est vraie »). C'est de cette démonstration que R. Dedekind s'est inspiré pour démontrer l'existence d'un ensemble infini.

Contrairement à la doctrine traditionnelle qui accorde la priorité au concept (à l'idée) et définit le jugement comme une combinaison d'idées ou de concepts, Bolzano part de la proposition et définit une représentation (en soi) comme partie d'une proposition qui, elle, n'est pas une proposition entière. Cette manière de voir permet de définir des concepts complexes tels que celui de continuité par des formes propositionnelles. La logique extensionnelle des représentations est une généralisation de la logique des classes. À côté des représentations référentielles (gegenständliche Vorstellungen), qui ont un objet, Bolzano admet les représentations vides (par exemple, « pentaèdre régulier »). Il admet également les représentations maximales, qui ont toutes la plus grande extension possible. Cette extension est la classe universelle, définie par l'extension de la propriété « être identique avec soi-même », c'est-à-dire comme {x : x = x}. Lorsque Bolzano veut étendre les relations entre les classes (compatibilité, inclusion, équivalence, incompatibilité) aux classes de classes et même aux représentations vides, il fait appel à une méthode qui est à la base de sa logique des propositions. Il commence par définir la notion de « forme propositionnelle » : c'est ce que devient une proposition quand on substitue des variables à la place de certaines représentations ou, comme dit parfois Bolzano, c'est une proposition dans laquelle on considère certaines représentations comme variables (ce sont ces « représentations considérées comme variables » qui feront l'objet de substitutions). Cette manière de parler permet à Bolzano d'utiliser indifféremment le terme « proposition » pour désigner aussi bien les formes propositionnelles que les propositions au sens strict. À proprement parler, les propositions sont obtenues à partir de formes propositionnelles par substitution de représentations déterminées à leurs variables. Certaines formes propositionnelles sont telles que chaque substitution autorisée les transforme en une vérité (exemple cité par Bolzano : « l'homme x est mortel ») ; de telles formes sont appelées par Bolzano universellement valides relativement aux variables considérées. Les formes que chaque substitution transforme en propositions fausses sont universellement contravalides ; enfin, une troisième espèce de formes donne lieu aussi bien à des vérités qu'à des propositions fausses. Bolzano précise aussi les conditions auxquelles doivent se soumettre les représentations pour êtres admises à être substituées dans une forme donnée.

Les formes universellement valides sont définies par rapport à certaines variables. Une telle notion n'est pas une notion logique au sens strict. Pour parvenir à la notion de vérité logique, Bolzano passe par un autre stade intermédiaire, celui de l'analyticité. Sont analytiques les propositions qui contiennent au moins une représentation variable telle que toutes les substitutions engendrent des propositions ayant la même valeur de vérité (donc, ou bien des propositions qui sont toutes vraies, ou bien des propositions qui sont toutes fausses). L'analyticité selon Bolzano est une propriété intermédiaire entre la validité (relative à des variables données) et la vérité logique. Le pas décisif est accompli par la définition de l'analyticité logique, qui coïncide avec notre notion de vérité logique et même avec la notion d'analyticité, pourvu qu'on admette les substitutions des définitions aux termes définis. Les formes logico-analytiques sont telles que les substitutions à toutes les variables non logiques engendrent uniquement des propositions vraies. Les propositions logico-analytiques, résultats de telles substitutions, sont des instances des lois logiques. La définition bolzanienne suppose la séparation des termes en constantes logiques et en termes non logiques, même si « les deux ne sont pas délimitées aussi nettement qu'aucune dispute ne puisse jamais naître à ce sujet » (paragr. 148). Exemples de telles formes logico-analytiques : A est A, A qui est B est A, A qui est B est B, A est B ou non B, etc.

La contribution principale de Bolzano à la logique ne consiste cependant pas dans l'énumération et la classification de telles formes, comme c'est le cas chez Aristote aussi bien que dans la logique mathématique ; elle consiste dans l'élaboration d'un système des relations extensionnelles (relations définies uniquement en termes de valeurs de vérité) entre les propositions dont la déductibilité (la conséquence logique) est la plus importante. Ce système est dérivé du système de la logique des classes, car, après Leibniz, Bolzano souligne l'isomorphisme entre la logique extensionnelle des représentations (logique des classes) et la logique des relations extensionnelles entre les propositions : « La propriété des propositions d'être vraies ou non correspond à la propriété des représentations de représenter effectivement ou non un objet » (paragr. 154). Le transfert des relations logiques des représentations aux propositions s'effectue par la correspondance entre la relation de dénotation ou référence (une représentation dénote son objet) et la relation « rendre vrai » (une suite de représentations rend vraie une forme propositionnelle). D'où les définitions : les propositions A, B, C, ... sont compatibles entre elles (relativement aux variables i, j, ...) s'il existe une suite de représentations qui, substituées aux variables, rendent toutes ces propositions vraies. Si toutes les suites de représentations qui rendent vraies les A, B, C, ... rendent également vraies la proposition M, M est déductible des prémisses A, B, C. C'est la célèbre définition bolzanienne de la notion de conséquence logique, reformulée par Alfred Tarski en termes de modèles. Par la même méthode, Bolzano définit l'équivalence et les différents cas obtenus par la négation : incompatibilité, contrariété, contradiction. Il établit au total un système de relations extensionnelles qui correspond à notre système des connecteurs propositionnels. Il le généralise pour les classes de propositions.

S'efforçant de rapprocher la déductibilité des raisonnements effectifs, il introduit des notions intensionnelles comme la déductibilité adéquate (non redondante) et une relation matérielle de raison à conséquence (Abfolge), qui permet d'organiser les théorèmes dans un système axiomatique. Sa logique déductive est prolongée par une logique des probabilités fondée sur la notion de degré de probabilité d'une proposition M par rapport aux hypothèses A, B, C, ... Cette notion est définie comme le rapport du nombre des cas où les propositions A, B, C, ..., M sont vraies au nombre des cas où seules les propositions A, B, C, ... sont vraies. La probabilité de M est nulle si A, B, C, ..., M ne sont jamais conjointement vraies, c'est-à-dire si A, B, C, ... et M sont incompatibles ; elle est comprise entre 0 et 1 si le nombre des cas où A, B, C, ..., M sont vraies est inférieur au nombre des cas où A, B, C, ... seules sont vraies. Enfin, lorsque les deux nombres sont égaux, la probabilité est égale à 1 ; c'est une certitude ; et, dans ce cas, toutes les substitutions qui rendent vraies A, B, C rendent vraie également M, c'est-à-dire M est déductible des A, B, C, ... Ludwig Wittgenstein reprendra l'idée de Bolzano dans le Tractatus et Rudolf Carnap la mettra à la base de sa logique des probabilités.

La logique de Bolzano n'est ni un calcul ni une langue caractéristique. En établissant un système de relations logiques définies par la méthode substitutionnelle, l'auteur travaille en continuité avec ses grands prédécesseurs tout en ouvrant la voie à la sémantique logique du xx^e siècle.

Quant aux philosophes du xviii^e et du xix^e siècle, leurs apports à la logique sont modestes, et pas toujours heureux. La Logica de Christian von Wolff ne répond guère à la prétention qu'elle affiche d'être traitée selon la méthode démonstrative d'Euclide. Kant a popularisé une classification des jugements qui sert de base à sa table des catégories, ainsi que la distinction entre jugements analytiques et synthétiques, mais cela sous des formes peu satisfaisantes. Il a surtout, avec sa logique « transcendantale », amorcé une série de recherches auxquelles se livreront ensuite des philosophes allemands, toujours en les distinguant expressément de la logique formelle, et qui prendront des formes aussi diverses que celles qui séparent Hegel de Husserl ; mais de telles spéculations relèvent de l'histoire de la philosophie, non de celle de la logique. En logique proprement formelle, la théorie sans doute la plus remarquée, mais dont l'intérêt a beaucoup pâli, est celle de la quantification, du prédicat, par laquelle William R. Hamilton, en réduisant toutes les propositions à des égalités (affirmatives) ou des inégalités (négatives), pensait achever, en la consolidant, l'analytique aristotélicienne. En face de lui, John Stuart Mill élabore une logique qui, refusant l'alternative entre rationalisme et nominalisme, puisse s'accorder avec une philosophie empiriste. Tout raisonnement, déductif ou inductif, y est présenté comme allant finalement du fait au fait, le passage par la généralité étant pratiquement utile mais logiquement superflu. Dans son exposé, les considérations d'ordre psychologique tiennent une large place, et ce « psychologisme » se développera, surtout en Allemagne, pendant la seconde moitié du xix^e siècle, notamment chez Franz Brentano et Christoph von Sigwart ; il sera alors vigoureusement et victorieusement combattu par G. Frege et par Husserl.

L'année 1847, où paraît la Mathematical Analysis of Logic de George Boole, marque le départ d'une nouvelle forme de logique, une logique qui, à la fois symbolique et mathématique, réalise enfin le double rêve de Leibniz. Se fondant sur certaines analogies entre les opérations fondamentales de la logique et des mathématiques, Boole transcrit les premières dans le symbolisme algébrique. L'analogie cesse, il est vrai, pour l'élévation aux puissances qui est sans effet dans la multiplication logique, où x² = x (par exemple, les Anglais qui sont des Anglais sont des Anglais, simplement). Cependant, même en algèbre, cette loi d'idempotence se trouve vérifiée pour les cas particuliers où x = 0 et où x = 1. Boole construit donc une espèce particulière d'algèbre n'admettant que ces deux valeurs numériques, et qui sera l'algèbre de la logique. Dès lors, devant un problème d'ordre logique, il en traduit l'énoncé en langage algébrique, puis opère selon les lois de son algèbre binaire, et retraduit enfin le résultat en termes logiques. Cette algèbre est efficace, elle fournit une procédure de décision pour des problèmes bien plus complexes que ceux auxquels s'applique la logique classique ; mais elle a l'inconvénient de n'admettre une interprétation logique (logique des classes, et même, avec quelques aménagements, logique des propositions) qu'aux deux extrémités du calcul. C'est un instrument pour la logique, non une logique.

C'est ce que lui reprochera William Stanley Jevons. Il complète la loi de Boole sur la multiplication logique par une loi analogue sur l'addition logique ; par là, il a contribué à faire admettre définitivement l'interprétation non exclusive de la disjonction (addition logique), en raison de l'intéressante dualité qui s'établit alors entre conjonction et disjonction, et a commencé ainsi à libérer la logique de l'asservissement déformant à la mathématique à laquelle Boole l'avait soumise. On lui doit aussi l'invention d'un « piano logique » où le calcul se fait automatiquement par le jeu des touches : c'est la première machine logique. Après lui, J. Venn, substituant aux deux interprétations extensive et intensive des propositions une interprétation « existentielle », double le calcul de forme algébrique par l'invention de diagrammes, beaucoup plus satisfaisants que ceux d'Euler. L'algèbre de la logique trouvera enfin son couronnement dans les ouvrages de Schröder et de Alfred North Whitehead, le premier plus poussé dans les détails techniques, le second d'esprit plus philosophique.

Contemporain de Boole et mathématicien comme lui, Augustus De Morgan est le véritable initiateur de la logique des relations. Celle-ci sera ensuite développée par Charles Sanders Peirce, par Ernst Schröder, et surtout par Bertrand Russell. Peirce a d'ailleurs d'autres mérites, par exemple d'avoir dégagé la notion moderne des quantificateurs, amorcé le calcul des fonctions de vérité par l'usage des matrices, et surtout d'avoir libéré la logique nouvelle de la fascination pour les équations et pour les opérations inverses qui caractérisait l'algèbre de la logique. À la relation d'égalité, il substitue comme copule logique fondamentale la relation d'« illation », qui marque à la fois l'inclusion hypothétique et l'implication entre propositions. Tournant décisif dans le développement de la logique contemporaine.

L'algèbre de Boole est, en somme, une théorie mathématique particulière qui, comme telle, présuppose les lois logiques de la déduction. Même s'il est vrai que quelques-unes se retrouvent parmi les interprétations possibles du calcul, il y aurait cercle vicieux à dire que celui-ci les démontre. C'est avec Peirce, puis avec H. Mac Coll et surtout avec Frege, plutôt qu'avec Boole, que la logique, s'appliquant d'abord et essentiellement à déterminer les lois mêmes de la déduction, commence vraiment à prendre sa forme actuelle. Elle est mathématique, non plus par une assimilation extérieure et assez artificielle de ses opérations à celles de la mathématique, mais par sa méthode démonstrative et par ses procédés de calcul sur des signes. De plus, les travaux de la mathématique spéculative à la fin du siècle, puis, avec les antinomies cantoriennes, la crise des fondements de cette science qui éclate vers 1900, ont eu pour effet d'orienter l'élaboration de la nouvelle logique de façon qu'elle fournisse le langage apte à traiter les problèmes théoriques ainsi soulevés. C'est pourquoi il devient souvent difficile de séparer le développement de la logique des problèmes de philosophie mathématique auxquels il est associé. L'articulation de la logique à la mathématique se fait donc désormais autrement que chez Boole.

Bien que son œuvre logico-mathématique ait, en avance sur son temps, dû attendre pour se faire reconnaître, c'est Gottlob Frege qui est aujourd'hui regardé comme le véritable fondateur de la forme contemporaine de la logique, celle qu'on appellera bientôt la logistique. Dès sa Begriffsschrift (1879), il en dessine les lignes essentielles.

Frege réalise le projet de Leibniz en créant, d'une part, une idéographie, une « écriture conceptuelle » capable d'exprimer adéquatement toutes les opérations logiques, d'autre part, le « calcul logique » des fonctions de vérité (la logique des connecteurs propositionnels) et de la quantification (la logique des prédicats). Cette logique est complètement affranchie des obstacles qui entravaient la syllogistique et même le système de Boole. Frege innove d'abord par une nouvelle analyse de la proposition. Une proposition n'est plus analysée comme constituée par un sujet et un prédicat, eux-mêmes calqués sur les catégories grammaticales, mais en termes d'objet (argument) et de concept (fonction), l'objet et le concept étant définis en conformité avec la notion mathématique de fonction. Frege peut ainsi intégrer dans la logique les relations à un nombre fini quelconque de places. On ne saurait insister assez sur l'importance de cette analyse et sur l'invention de la quantification : c'est seulement l'idéographie de Frege qui permet de structurer des formules complexes et d'exprimer adéquatement les concepts mathématiques dans la définition desquels entrent plusieurs quantificateurs existentiels et universels qui se succèdent dans un ordre déterminé (par exemple les concepts de convergence et de convergence uniforme).

Cette construction est mise au service d'un projet logiciste de la réduction de l'arithmétique, discipline mathématique fondamentale, à la logique. La Begriffsschrift contient l'essentiel des innovations logiques de Frege. Celui-ci procède de manière syntaxique en posant des axiomes et des règles et en en dérivant les théorèmes. Mais sa syntaxe est mise au service d'une sémantique : ses formules décrivent la structure objective de l'univers logique. Ce créateur d'un premier système formel est l'adversaire déclaré de tous les formalismes, que ce soit celui de son collègue Thomae ou celui de Hilbert. C'est pourquoi il fait précéder la construction de son calcul logique par une présentation sémantique de ses concepts fondamentaux. Ce sont d'abord les deux connecteurs pris comme primitifs : le conditionnel « si ... alors » (appelé par Bertrand Russell l'implication) et la négation. Frege les explique en spécifiant les conditions de vérité et de fausseté des propositions qu'ils engendrent, ce qui est une procédure analogue à la définition par les tables de vérité. Il explique ensuite la formation des propositions complexes, l'écriture fonctionnelle, le quantificateur universel (dont la négation est le quantificateur existentiel) et la règle de dérivation, le modus ponens (il utilise aussi la règle de substitution conjointe). Dans sa présentation de la théorie de la quantification, il ajoute la règle de généralisation. Son « écriture conceptuelle » est graphiquement très complexe et très différente des systèmes symboliques généralement utilisés dans les sciences, mais elle est adéquate et peut être fidèlement traduite dans notre symbolisme habituel.

La deuxième partie de la Begriffsschrift contient un exposé de la logique propositionnelle, déduite à partir de six axiomes (qui ne sont pas tous indépendants), et de la théorie de la quantification, établie moyennant l'ajout des trois nouveaux axiomes. Frege quantifie aussi sur les lettres de fonction, ce qui revient à élargir la logique du premier ordre en logique du second ordre ; il en aura besoin dans la troisième partie de l'ouvrage consacrée à la théorie des suites. Son système a pour objectif non de garantir la certitude des lois logiques à partir des principes évidents, mais de rendre manifeste l'enchaînement des théorèmes et leur dépendance vis-à-vis d'un petit nombre de principes choisis comme point de départ des déductions. Il est le premier à être complètement formalisé et axiomatisé.

La troisième partie de l'ouvrage fournit des éléments essentiels pour la réduction de l'arithmétique à la logique, que Frege tentera d'accomplir dans les Grundlagen der Arithmetik (1884), puis dans les Grundgesetze der Arithmetik (2 vol., 1893, 1903) : il s'agit des concepts de propriété héréditaire, de succession dans une suite et d'appartenance à une suite commençant par x. Ils permettront de définir le concept de nombre et de ramener le raisonnement par récurrence (par induction mathématique) aux lois logiques. Dans la préface à la deuxième édition de Was sind und was sollen die Zahlen (1888, 2^e éd. 1893), Dedekind constatera l'accord entre le concept frégéen de propriété héréditaire et sa propre définition de la chaîne (il l'avait conçue dans la version manuscrite de son ouvrage rédigée entre 1872 et 1878, avant la parution de la Begriffsschrift).

Dans Die Grundlagen der Arithmetik (1884), Frege apporte une première définition adéquate du concept de nombre. Il part de l'analyse des énoncés numériques pour en conclure que le nombre est la propriété non d'une chose ou d'une collection, mais d'un concept. Dire « le carrosse est tiré par quatre chevaux », c'est attribuer une propriété non pas à l'ensemble des chevaux, mais au concept « cheval qui est en train de tirer le carrosse ». Une fois analysés, les énoncés numériques prennent la forme d'une identité : « le nombre des chevaux qui tirent le carrosse = 4 », énoncé qui est de la forme « le nombre qui appartient au concept F = n ». Plus généralement encore, Frege considère les énoncés de l'égalité numérique : « le nombre qui appartient au concept F = le nombre qui appartient au concept G ». Son originalité, c'est donc de définir le concept de nombre non pas directement, mais par le détour de l'égalité numérique ou « équinuméricité ». Pour définir celle-ci, il se sert de l'idée de Hume qui consiste à faire correspondre bijectivement les objets qui tombent sous le concept F aux objets qui tombent sous le concept G. Si tel est le cas, F et G sont des concepts équinumériques. Il n'y a pas de cercle, puisque l'équinuméricité est définie par l'existence d'une bijection entre F et G sans faire appel à la notion de nombre.

L'étape suivante consiste à définir l'expression « le nombre qui appartient au concept F » : c'est l'extension du concept « équinumérique au concept F ». Appartiennent à cette extension toutes les extensions (classes) qui peuvent être mises en bijection avec l'extension du concept F. Le nombre qui appartient à F (dans notre exemple : le nombre qui appartient au concept « cheval qui est en train de tirer le carrosse ») est donc la classe de toutes les classes qui peuvent être mises en correspondance bijective avec l'extension de F (4 est la classe de toutes les classes dont les objets peuvent correspondre un à un aux objets de l'extension du concept « cheval qui est en train de tirer le carrosse »). Dans sa dernière étape, Frege s'emploie à détacher le nombre des concepts particuliers F et G. Pour définir le nombre indépendamment de tout concept, il fait appel à la quantification existentielle : « n est un nombre » sera défini par « il existe un concept tel que n est le nombre qui lui appartient ». Il procède ensuite à des définitions des nombres particuliers. 0 est le nombre qui appartient au concept « ne pas être identique à soi-même » (car il n'y a pas d'objet qui ne soit pas identique à lui-même). Pour obtenir le nombre 1, il définira d'abord l'expression « n est le successeur immédiat de m dans la suite naturelle des nombres ». Le nombre 1, le successeur immédiat de 0, sera le nombre qui appartient au concept « être égal à 0 » (car il y a exactement un nombre égal à 0, à savoir 0). Puis Frege démontre les propriétés de la suite des nombres naturels ; en particulier, le procédé de démonstration par récurrence (par induction mathématique) sera justifié à l'aide de la définition de la relation ancestrale « x précède y dans la suite définie par la fonction f » par le moyen de la relation « successeur immédiat ». Cette définition est la pierre angulaire de l'entreprise logiciste de Frege : c'est elle qui permet de réduire l'induction mathématique, « l'inférence de n à (n + 1), qui est apparemment propre à la mathématique, aux lois générales de la logique ».

Les Grundlagen ne sont cependant qu'une explication en langue naturelle du procédé formel à suivre. La construction formelle sera l'objet des Grundgesetze der Arithmetik. Entre-temps, dans une série d'articles, Frege explique quelques-uns de ses concepts fondamentaux. Dans « Concept et objet », il précise la différence entre ces deux catégories qui sont à la base de son ontologie : le concept est de nature prédicative, il est essentiellement non saturé et appelle à être complété par l'objet. « Fonction et concept » expose le caractère fonctionnel du concept : celui-ci est une fonction qui associe à un objet une valeur de vérité. La logique de Frege est édifiée sur des bases ontologiques objectivistes, comme celle de Bolzano. La distinction entre le sens (Sinn) et la signification (Bedeutung, « référence » ou « dénotation ») permet de comprendre le concept d'identité (les expressions « étoile du matin » et « étoile du soir » ont la même signification [référence], mais diffèrent par le sens). Complétée par une catégorie intermédiaire, celle du sens (Sinn) défini comme mode de donation du référent, elle instaure une tripartition signe-sens-référence, qui peut s'expliciter selon le tableau.

Cette conception ne manque pas de susciter des critiques. Par son statut ontologique, la « pensée » frégéenne est proche de la proposition en soi de Bolzano : comment admettre de telles entités ? Peut-on concevoir avec Frege un énoncé comme étant un des noms innombrables du même objet, à savoir d'une valeur de vérité ? Comment résoudre le « paradoxe de Frege » selon lequel « le concept de cheval n'est pas un concept » ?

Plus grave fut le sort réservé à l'œuvre majeure des Grundgesetze qui devait effectuer de manière formelle et complète la réduction de l'arithmétique à la logique. En 1902, Russell écrit à son auteur en signalant que, dans un tel système, on peut déduire l'antinomie suivante : soit w le prédicat « être un prédicat qui ne peut pas être prédiqué de lui-même ». Chaque réponse à la question « peut-on prédiquer w de lui-même ? » implique son contraire (dans le langage des classes : si C est la classe de toutes les classes qui ne sont pas éléments d'elles-mêmes, a-t-on C ∈ C ? Si oui, C ∉ C, si non, C ∈ C). C'est cette antinomie, déductible à partir des principes de la logique de Frege, qui a ruiné son système.

La première grande contribution de Russell à la logique est la théorie des descriptions définies qu'il a exposée dans « On denoting » (1905), théorie préparée par l'analyse que faisait Frege de l'article défini. Quel est l'objet des descriptions ? À quoi se réfère l'expression de la forme « le tel-et-tel », par exemple « la planète la plus éloignée du système solaire » ou « l'actuel roi de France » ? Selon Russell, il faut les analyser par la même méthode, bien qu'il y ait un objet qui est la planète la plus éloignée du système solaire, et qu'il n'existe personne qui soit l'actuel roi de France. De telles expressions jouent le rôle du sujet grammatical, mais elles ne désignent jamais le sujet logique, une entité (comme peut le faire un nom propre), car elles n'ont pas un sens prises isolément ; le sens leur est conféré par la proposition dans laquelle elles figurent. La proposition « le x qui est G est F », c'est-à-dire « F(xG(x)) » où est un descripteur, est analysée comme « il existe un x tel que F(x) et pour tout y, si G(y), alors y = x », en symboles « ∃x(F(x) ∧ ∀y(G(y) → y = x)). Elle est vraie lorsque l'objet décrit existe et a la propriété voulue, fausse lorsqu'il n'existe pas. Les descriptions définies sont donc des « symboles incomplets », des opérateurs logiques complexes définis par une combinaison de la quantification et de l'identité ; elles se ramènent à des propositions existentielles. Réduction ingénieuse, qui permettra plus tard d'éliminer tous les termes singuliers du discours logique, mais qui laisse quelques doutes sur sa légitimité, étant donné qu'elle admet, comme l'a montré P. Tichy, des contre-exemples.

Ayant souligné le vice rédhibitoire du système de Frege, Russell reprend la tâche du logicisme. Mais la situation n'est plus la même. L'apparition des antinomies en logique et en mathématique (antinomie de Burali-Forti du plus grand ordinal, antinomie de Richard concernant la définissabilité, la vieille antinomie du menteur) oblige Russell à effectuer une analyse nouvelle des principes logiques. La solution qu'il propose est la théorie des types dite ramifiée (par opposition à la théorie des types simple qu'il avait ébauchée en 1903 et qui fut construite par des logiciens comme Carnap et Quine à la suite des Principia) ; il l'exposa dans un article de 1908 et la reprit dans les Principia mathematica (3 vol., 1910-1913), rédigés avec Whitehead.

La notation adoptée dans ce dernier ouvrage est dérivée de celle de Peano, avec des innovations souvent heureuses ; elle est encore utilisée de nos jours. La « théorie de la déduction » (la logique propositionnelle) utilise trois notions primitives (l'assertion – notée ⊢ –, la négation et la disjonction ; l'« implication matérielle », c'est-à-dire le conditionnel, notée ⊃, est une notion définie). La « théorie de la variable apparente » (la logique de la quantification) ajoute les deux quantificateurs ; les auteurs définissent également l'« implication formelle » qui est le conditionnel généralisé ∀x(F(x) → G(x)). À la suite de Peano, les auteurs distinguent entre les variables réelles (= variables libres) et les variables apparentes (= variables liées). La théorie des descriptions est également intégrée dans le système. Comme les descriptions définies, les classes et les relations sont des symboles incomplets, ce qui veut dire que ce ne sont pas des entités, mais des fictions logiques, des auxiliaires de l'écriture définis contextuellement à partir de fonctions propositionnelles. L'ontologie sous-jacente des Principia comprend les individus, les propositions et les fonctions propositionnelles. Par « fonctions propositionnelles », « ambiguïtés qui attendent une détermination » (p. 48), les auteurs entendent aussi bien les formes propositionnelles, c'est-à-dire des énoncés ouverts comme F(x, y), que les objets intensionnels désignés par ces expressions – des propriétés ou attributs.

D'après Russell, qui reprend ici une idée de Henri Poincaré, la source des antinomies consiste dans une sorte de « réflexivité ou auto-référence » qui aboutit à un cercle vicieux : « être prédiqué de soi-même », dans le cas de l'antinomie de Russell ; « être défini dans les termes d'une totalité dont l'objet défini fait partie », dans le cas de l'antinomie de Richard, etc. Le principe du cercle vicieux permet d'éliminer la source de l'antinomie, mais, à lui seul, il ne suffit pas pour construire le système des Principia. Le principe qui présidera à la logique de Russell est celui de la stratification.

La théorie des types ramifiée consiste dans une double stratification en types et en ordres. Si la première élimine des antinomies logiques comme celle de Russell, elle ne suffit pas, pense Russell, pour éliminer les antinomies dites sémantiques comme celle du menteur, l'antinomie de Richard ou l'antinomie de l'« hétérologique » de Grelling. D'où l'idée de la hiérarchie des ordres, relative à leur structure syntaxique. À l'intérieur des ordres sont définis les types. Un type est le « domaine de signifiance » d'une fonction propositionnelle ; c'est une notion équivalente à celle de catégorie sémantique. Les types sont définis de la manière suivante : les individus sont de type 0 ; les propriétés d'individus (en langage russellien : les fonctions dont les variables sont des variables d'individu) sont de type 1 ; les propriétés de propriétés d'individus sont de type 2 ; etc. La théorie des types ramifiée élimine les antinomies à leur racine, par une codification grammaticale, puisqu'elle empêche leur écriture. Écrire C ∈ C, c'est écrire une expression dépourvue de sens, puisque les classes désignées par C ne sont pas de même type. De même pour le menteur : comme ses mensonges sont d'un ordre différent de l'énoncé « je mens », l'antinomie s'évanouit. Le problème que les théoriciens des ensembles doivent régler par l'introduction de nouveaux axiomes est ramené par Russell à la codification des règles de formation.

Doit-on voir dans le logicien Russell un simple grammairien ? Ce serait le considérer comme un formaliste à la manière de Hilbert ou de Bourbaki. Russell est le législateur de la grammaire, celui qui codifie la parole pour la rendre cohérente et intelligible. Mais il est bien plus que cela, puisque la hiérarchie des types ramifiée légifère sur les entités : elle décrit la structure des objets qui constituent l'univers logique. Faut-il, par ailleurs, rappeler les innovations conceptuelles et théoriques des Principia ? Une première définition non contradictoire du nombre naturel, une première théorie des relations, la théorie de l'induction transfinie, une définition de la notion de nombre-relation, pour laquelle on a trouvé des applications une cinquantaine d'années plus tard, et tout un réseau de concepts et de théorèmes qui constitue le point de départ de la quasi-totalité des recherches logiques du xx^e siècle, Hilbert, Tarski et Gödel compris.

La théorie des types entraîne une nouvelle conception des principes logiques. Tout d'abord, elle entraîne une stratification des opérateurs et des objets logiques (et donc aussi des objets mathématiques). Les opérateurs comme « non », « implique », « pour tout », les termes « vrai », « faux », « proposition », « définition », « nom », « nombre cardinal », « nombre naturel », etc., doivent être dissociés selon des niveaux. Les concepts logico-mathématiques sont donc des faisceaux de concepts. Cependant, ce qui compte en logique, ce ne sont pas des types absolus, mais uniquement les différences de type, ce qui autorise une écriture systématique ambiguë. Les formules des Principia sont seulement des schémas, des « assertions simultanées de tout un nombre de propositions primitives » (p. 52).

La théorie russellienne des classes est la no classe theory, les classes n'étant que des abréviations de l'écriture. Russell remplace l'existence des classes par un axiome plus faible, dit l'« axiome de réductibilité », qui affirme l'existence d'une fonction prédicative coextensive à toute fonction donnée (une fonction est prédicative si son ordre est immédiatement supérieur à l'ordre de ses arguments).

Le projet logiciste a-t-il réussi ? Le système des Principia est consistant, mais la réduction de la mathématique à la logique dépend de trois axiomes ajoutés aux axiomes logiques : l'axiome de l'infini ; l'axiome de réductibilité, qui assure la réduction des classes aux fonctions propositionnelles ; l'axiome multiplicatif, qui est la version russellienne de l'axiome du choix. Selon les auteurs des Principia, ces axiomes se justifient par des raisons purement pragmatiques. C'est surtout l'axiome de l'infini qui pose problème ; Russell et Whitehead conviennent d'un commun accord qu'il ne fait pas partie des principes logiques. Selon cette perspective, la frontière entre la logique et la mathématique ne serait pas celle qui sépare les objets logiques (propositions, fonctions propositionnelles) des ensembles, mais celle qui sépare le fini de l'infini.

Comme les théories de Bolzano et de Frege, celle de Russell repose sur une base ontologique (qui est, notons-le en passant, plus forte que l'ontologie sous-jacente à la syllogistique d'Aristote). Paradoxalement, après les travaux des fondateurs, la logique accomplit son « tournant linguistique » dans l'esprit hilbertien en privilégiant l'écriture au détriment des objets et des relations visées à travers l'écriture.

Après l'Allemagne, l'Italie et l'Angleterre, un foyer créateur rayonne de Pologne (S. Lesniewski, J. Łukasiewicz, A. Tarski). Puis, les États-Unis prennent et conservent la tête du mouvement (C. I. Lewis, W. O. Quine, A. Church ; création du Journal of Symbolic Logic en 1936). Dès lors, la logique symbolique a pris rang parmi les disciplines scientifiques, sa valeur étant sanctionnée par ses applications dans les techniques les plus avancées. Les principaux traits qui la distinguent de la logique fregéo-russellienne sont les suivants :

– Elle s'est libérée de son attache au logicisme. Elle est cultivée aussi bien par les intuitionnistes (A. Heyting) que par les formalistes (D. Hilbert).

– La formalisation y est beaucoup plus poussée. Les lois logiques sont regardées comme des « tautologies », vides de contenu (L. Wittgenstein). La vacuité des axiomatiques remonte des mathématiques vers la logique. On distingue expressément les systèmes formels et leurs interprétations concrètes, y compris les interprétations en termes de logique. C'est par les méthodes formelles elles-mêmes qu'ont été reconnues les limitations internes du formalisme (K. Gödel, 1931).

– L'absolutisme logique est fortement compromis par la multiplication des systèmes non classiques, c'est-à-dire non russelliens : systèmes plurivalents (Łukasiewicz, E. L. Post) ou affaiblis (Heyting), développement des logiques modales à partir de l'implication stricte de Lewis, logique combinatoire (Schönfinkel, Curry), calcul des séquences (Gentzen, Jaskowski).

On distingue plus systématiquement entre l'élaboration des calculs et les problèmes qu'on se pose à leur sujet dans la métalangue, soit d'ordre syntaxique (consistance, complétude, décidabilité), soit d'ordre sémantique (analyse des notions de vérité, de synonymie, de conséquence). Le centre de gravité se déplace ainsi de la logique vers la métalogique.