KRONECKER LEOPOLD (1823-1891)

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La « multiplication complexe »

Une courbe elliptique X peut être définie, en tant que groupe de Lie complexe, comme un quotient C/Γ, où Γ est un réseau dans C, c'est-à-dire l'ensemble des combinaisons à coefficients entiers (positifs ou négatifs) de deux nombres complexes ω1, ω2 de rapport τ non réel ; à isomorphie près, on peut toujours supposer que ω1 = 1, ω2 = τ, avec Im τ > 0. La théorie des fonctions elliptiques (cf. fonctions analytiques – Fonctions elliptiques et modulaire) introduit les nombres suivants :

sommations excluant le couple (mn) = (0, 0), de sorte que X s'identifie avec la courbe d'équation :
dans le plan projectif complexe P2(C). On appelle invariant modulaire de X le nombre :
qui n'est fonction que du rapport τ ; on montre que deux courbes elliptiques sont isomorphes (en tant que groupes de Lie complexes) si et seulement si leurs invariants modulaires sont égaux.

Un endomorphisme de X s'identifie à une homothétie ↦ zt de C qui laisse invariant le réseau Γ. L'anneau A(X) de ces endomorphismes contient toujours Z ; on dit que la courbe X admet des multiplications complexes lorsqu'il existe dans A(X) des nombres z non réels, donc vérifiant les relations :

pour des entiers a, b, c, d tels que ≠ 0, ce qui implique :
en d'autres termes, τ doit être un nombre d'un corps quadratique imaginaire :

(D entier positif non divisible par un carré), et on voit aisément qu'en fait τ doit être un entier de ce corps. A(X) est alors un ordre du corps K, et on montre que, pour tout ordre d'un corps quadratique imaginaire, il y a une courbe elliptique dont cet ordre est l'anneau des endomorphismes.

On s'intéresse particulièrement au cas où A(X) est l'anneau de tous les entiers d'un corps quadratique

et où Γ ⊂ K ; alors Γ est un idéal de A(X) et, pour que deux réseaux Γ, Γ′ dans K donnent des courbes elliptiques isomorphes, il faut et il suffit que ces idéaux appartiennent à la même classe d'idéaux de K. D'après ce qui a été dit plus haut, les nombres j(τ) correspondant à de [...]


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Pour citer l’article

Jean DIEUDONNÉ, « KRONECKER LEOPOLD - (1823-1891) », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 02 juillet 2020. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/leopold-kronecker/