COURBES ALGÉBRIQUES

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Courbes elliptiques

Définitions

Nous avons dit que les cubiques sont rationnelles lorsqu'elles ont un point double. Les cubiques sans point singulier sont projectivement réductibles à la forme :

(dans laquelle l'équation y = 0 doit avoir trois racines simples). Cette forme réduite, définie à une homothétie près, dépend du seul paramètre :

La définition de la fonction elliptique p(u) de Weierstrass met en évidence la représentation paramétrique x = p(u), y = p′(u) ; c'est la raison pour laquelle les cubiques sans singularité sont appelées cubiques elliptiques.

L'argument :

est l'intégrale abélienne (de première espèce) attachée à la courbe. Plus généralement, deux fonctions elliptiques de mêmes périodes sont liées par une relation algébrique : elles constituent la représentation paramétrique d'une courbe algébrique dite courbe elliptique.

Si ω et ω′ sont deux périodes de base d'une fonction elliptique, on appelle parallélogramme de période tout parallélogramme admettant pour sommets les images des nombres complexes :

k, k′ sont des entiers relatifs. Dans un parallélogramme de période, une fonction elliptique prend le même nombre de fois toute valeur, et la somme des zéros est égale à la somme des pôles. Comme la fonction p(u) a un pôle double à l'origine, la fonction :
fournit la condition nécessaire et suffisante d'alignement de trois points d'une cubique elliptique :
ω et ω′ étant deux périodes de base (cf. fonctions analytiques - Fonctions elliptiques et modulaire).

Si, dans l'étude des cubiques nodales, nous faisons le changement de représentation, u = log t la condition d'alignement devient :

Pour les cubiques cuspidales, u est le paramètre 1/t lui-même. On voit ainsi comment les cubiques rationnelles sont obtenues par dégénérescence des cubiques elliptiques.

Loi de groupe

Le théorème des points alignés (théorème de Lamé) consiste en ceci : coupons la cubique par trois droites A1A2A3, B1B2B3, C1C2C3, telles que les points A1B1C1 et A2B2C2, respectivement, soient alignés. Alors A3B3C3 sont aussi alignés, car la somme totale des affixes est nulle.

Théorème de Lamé

Dessin : Théorème de Lamé

Loi de groupe sur une cubique 

Crédits : Encyclopædia Universalis France

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Lorsque, dans la condition d'alignement, on fait u1 = u2 = u3, on voit que la cubique elliptique a neuf points d'inflexion (la cubique nodale trois et la cubique cuspidale un seul) :

(où k, k′ sont des entiers relatifs modulo 3). Ces points sont tels que toute droite qui en joint deux en contient un troisième, et cette propriété définit complètement la configuration. Un modèle métrique est obtenu en coupant un triangle équilatéral par la droite de l'infini et le cercle de rayon nul qui lui est concentrique.

Sur la figure 7, qui illustre le théorème des points alignés, nous avons placé B2 en un point d'inflexion. Cela va nous permettre de montrer la structure de groupe abélien de la cubique elliptique, qui a B2 pour élément neutre : deux points (tels que B1 et B3) alignés sur B2 sont opposés ; quand trois points sont alignés chacun est opposé à la somme des deux autres. Ainsi, la somme A1 + A3 est C2 opposé de A2. Cette opération est évidemment commutative et le théorème de Lamé établit son associativité :

Théorème de Lamé

Dessin : Théorème de Lamé

Loi de groupe sur une cubique 

Crédits : Encyclopædia Universalis France

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La détermination du point (X, Y) somme des points (x1y1) et (x2y2) se fait rationnellement et cette propriété est en liaison directe avec le théorème d'addition pour la fonction p(u) :

D'un point arbitraire d'une cubique elliptique, on peut lui mener quatre tangentes, dont les contacts ont des arguments qui diffèrent d'une demi-période. D'après un théorème de Salmon, lorsque le point parcourt la cubique, le faisceau de ces quatre tangentes reste projectivement constant.

L'invariant (birapport symétrisé) de ce faisceau s'exprime au moyen de I, ou du quotient ω′/ω des périodes : c'est la signification géométrique de la fonction modulaire :

Les méthodes utilisées pour l'étude des courbes elliptiques ont été généralisées aux courbes qui admettent une intégrale abélienne hyperelliptique ; pour cette raison on les appelle courbes hyperelliptiques. L'extension aux courbes algébriques générales de la méthode paramétrique nécessite l'emploi des fonctions fuchsiennes introduites par Henri Poincaré.

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Pour citer l’article

Luc GAUTHIER, « COURBES ALGÉBRIQUES », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 14 août 2022. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/courbes-algebriques/