COURBES ALGÉBRIQUES
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- Écrit par Luc GAUTHIER
Courbes elliptiques
Définitions
Nous avons dit que les cubiques sont rationnelles lorsqu'elles ont un point double. Les cubiques sans point singulier sont projectivement réductibles à la forme :
La définition de la fonction elliptique p(u) de Weierstrass met en évidence la représentation paramétrique x = p(u), y = p′(u) ; c'est la raison pour laquelle les cubiques sans singularité sont appelées cubiques elliptiques.
L'argument :
Si ω et ω′ sont deux périodes de base d'une fonction elliptique, on appelle parallélogramme de période tout parallélogramme admettant pour sommets les images des nombres complexes :
Si, dans l'étude des cubiques nodales, nous faisons le changement de représentation, u = log t la condition d'alignement devient :
Pour les cubiques cuspidales, u est le paramètre 1/t lui-même. On voit ainsi comment les cubiques rationnelles sont obtenues par dégénérescence des cubiques elliptiques.
Loi de groupe
Théorème de Lamé
Encyclopædia Universalis France
Le théorème des points alignés (théorème de Lamé) consiste en ceci : coupons la cubique par trois droites A1A2A3, B1B2B3, C1C2C3, telles que les points A1B1C1 et A2B2C2, respectivement, soient alignés. Alors A3B3C3 sont aussi alignés, car la somme totale des affixes est nulle.
Lorsque, dans la condition d'alignement, on fait u1 = u2 = u3, on voit que la cubique elliptique a neuf points d'inflexion (la cubique nodale trois et la cubique cuspidale un seul) :
Sur la figure 7, qui illustre le théorème des points alignés, nous avons placé B2 en un point d'inflexion. Cela va nous permettre de montrer la structure de groupe abélien de la cubique elliptique, qui a B2 pour élément neutre : deux points (tels que B1 et B3) alignés sur B2 sont opposés ; quand trois points sont alignés chacun est opposé à la somme des deux autres. Ainsi, la somme A1 + A3 est C2 opposé de A2. Cette opération est évidemment commutative et le théorème de Lamé établit son associativité :
La détermination du point (X, Y) somme des points (x1, y1) et (x2, y2) se fait rationnellement et cette propriété est en liaison directe avec le théorème d'addition pour la fonction p(u) :
D'un point arbitraire d'une cubique elliptique, on peut lui mener quatre tangentes, dont les contacts ont des arguments qui diffèrent d'une demi-période. D'après un théorème de Salmon, lorsque le point parcourt la cubique, le faisceau de ces quatre tangentes reste projectivement constant.
L'invariant (birapport symétrisé) de ce faisceau s'exprime au moyen de I, ou du quotient ω′/ω des périodes : c'est la signification géométrique de la[...]
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Écrit par
- Luc GAUTHIER : ancien vice-doyen de la faculté des sciences de Paris
Classification
Pour citer cet article
Luc GAUTHIER. COURBES ALGÉBRIQUES [en ligne]. In Encyclopædia Universalis. Disponible sur : (consulté le )
Article mis en ligne le et modifié le 14/03/2009
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Autres références
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BÉZOUT ÉTIENNE (1739-1783)
- Écrit par Jacques MEYER
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Le nom d'Étienne Bézout doit être associé à l'utilisation des déterminants dans la théorie des équations algébriques. Dans son mémoire à l'Académie (1764) et surtout dans son ouvrage Théorie générale des équations algébriques (1779), Bézout donne des règles pour résoudre...
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CALCUL INFINITÉSIMAL - Histoire
- Écrit par René TATON
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...est, aux environs du point de contact, tout entière d'un même côté de la courbe, il réussit à ramener la détermination de la tangente en un point d'une courbe algébrique à la recherche de l'extrémum d'une fonction algébrique, d'où il déduit la sous-tangente à la courbe donnée au point considéré.... -
CASTELNUOVO GUIDO (1865-1952)
- Écrit par Jean-Luc VERLEY
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Mathématicien italien dont les travaux ont porté principalement sur la géométrie algébrique. Né à Venise, Castelnuovo fut l'élève de Véronèse à Padoue ; assistant à Turin, il eut avec C. Segre de nombreux entretiens d'où devait sortir l'exposé de la géométrie sur une courbe algébrique, publié...
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CLAIRAUT ALEXIS CLAUDE (1713-1765)
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Mathématicien français. Né à Paris, Clairaut (ou Clairault) fit, sous la conduite de son père qui était professeur de mathématiques, de tels progrès en cette science qu'à l'âge de douze ans il lisait devant l'Académie une note sur les propriétés de quatre courbes qu'il avait découvertes. Ses ...
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