COURBES ALGÉBRIQUES

Carte mentale

Élargissez votre recherche dans Universalis

Courbes elliptiques

Définitions

Nous avons dit que les cubiques sont rationnelles lorsqu'elles ont un point double. Les cubiques sans point singulier sont projectivement réductibles à la forme :

(dans laquelle l'équation y = 0 doit avoir trois racines simples). Cette forme réduite, définie à une homothétie près, dépend du seul paramètre :

La définition de la fonction elliptique p(u) de Weierstrass met en évidence la représentation paramétrique x = p(u), y = p′(u) ; c'est la raison pour laquelle les cubiques sans singularité sont appelées cubiques elliptiques.

L'argument :

est l'intégrale abélienne (de première espèce) attachée à la courbe. Plus généralement, deux fonctions elliptiques de mêmes périodes sont liées par une relation algébrique : elles constituent la représentation paramétrique d'une courbe algébrique dite courbe elliptique.

Si ω et ω′ sont deux périodes de base d'une fonction elliptique, on appelle parallélogramme de période tout parallélogramme admettant pour sommets les images des nombres complexes :

k, k′ sont des entiers relatifs. Dans un parallélogramme de période, une fonction elliptique prend le même nombre de fois toute valeur, et la somme des zéros est égale à la somme des pôles. Comme la fonction p(u) a un pôle double à l'origine, la fonction :
fournit la condition nécessaire et suffisante d'alignement de trois points d'une cubique elliptique :
ω et ω′ étant deux périodes de base (cf. fonctions analytiques - Fonctions elliptiques et modulaire).

Si, dans l'étude des cubiques nodales, nous faisons le changement de représentation, u = log t la condition d'alignement devient :

Pour les cubiques cuspidales, u est le paramètre 1/t lui-même. On voit ainsi comment les cubiques rationnelles sont obtenues par dégénérescence des cubiques elliptiques.

Loi de groupe

Le théorème des points alignés (théorème de Lamé) consiste en ceci : coupons la cubique par trois droites A1A2A3, B1B2B3, C1C2C3, telles que les points A1B1C1 et A2B2C2, respectivement, soient alignés. Alors A3B3C3 sont aussi alignés, car la somme totale des affixes est nulle.

Théorème de Lamé

Dessin : Théorème de Lamé

Dessin

Loi de groupe sur une cubique 

Crédits : Encyclopædia Universalis France

Afficher

Lorsque, dans la conditio [...]

1  2  3  4  5
pour nos abonnés,
l’article se compose de 7 pages

Médias de l’article

Coordonnées

Coordonnées
Crédits : Planeta Actimedia S.A.© Encyclopædia Universalis France pour la version française.

vidéo

Strophoïde

Strophoïde
Crédits : Encyclopædia Universalis France

graphique

Cissoïde

Cissoïde
Crédits : Encyclopædia Universalis France

graphique

Hypocycloïde

Hypocycloïde
Crédits : Encyclopædia Universalis France

dessin

Afficher les 8 médias de l'article


Écrit par :

  • : ancien vice-doyen de la faculté des sciences de Paris

Classification

Autres références

«  COURBES ALGÉBRIQUES  » est également traité dans :

BÉZOUT ÉTIENNE (1739-1783)

  • Écrit par 
  • Jacques MEYER
  •  • 175 mots

Le nom d'Étienne Bézout doit être associé à l'utilisation des déterminants dans la théorie des équations algébriques. Dans son mémoire à l'Académie (1764) et surtout dans son ouvrage Théorie générale des équations algébriques (1779), Bézout donne des règles pour résoudre n équations à n inconnues par élimination, en utilisant des déterminants, sans cependant entrer dans la théorie. Il étudie au […] Lire la suite

CALCUL INFINITÉSIMAL - Histoire

  • Écrit par 
  • René TATON
  •  • 11 508 mots
  •  • 3 médias

Dans le chapitre « Le problème des tangentes »  : […] Mais il est temps de revenir aux autres savants qui ont participé, avec Cavalieri, à l'édification des méthodes nouvelles de calcul préfigurant celles du calcul infinitésimal qui seront mises au point par Newton et Leibniz dans le dernier tiers du xvii e  siècle. Avant même la publication du traité de Cavalieri, Fermat et Descartes se trouvent engagés dans d'importantes recherches concernant, en […] Lire la suite

CASTELNUOVO GUIDO (1865-1952)

  • Écrit par 
  • Jean-Luc VERLEY
  •  • 342 mots

Mathématicien italien dont les travaux ont porté principalement sur la géométrie algébrique. Né à Venise, Castelnuovo fut l'élève de Véronèse à Padoue ; assistant à Turin, il eut avec C. Segre de nombreux entretiens d'où devait sortir l'exposé de la géométrie sur une courbe algébrique, publié en 1894 par Segre (où la méthode hyperspatiale est utilisée systématiquement). Appelé à l'université de Ro […] Lire la suite

CLAIRAUT ALEXIS CLAUDE (1713-1765)

  • Écrit par 
  • Universalis
  •  • 212 mots

Mathématicien français. Né à Paris, Clairaut (ou Clairault) fit, sous la conduite de son père qui était professeur de mathématiques, de tels progrès en cette science qu'à l'âge de douze ans il lisait devant l'Académie une note sur les propriétés de quatre courbes qu'il avait découvertes. Ses Recherches sur les courbes à double courbure (1731) le firent élire à l'Académie des sciences, bien qu'il […] Lire la suite

CLEBSCH RUDOLF FRIEDRICH ALFRED (1833-1872)

  • Écrit par 
  • Jeanne PEIFFER
  •  • 836 mots

Le mathématicien allemand Rudolf Friedrich Alfred Clebsch est né le 19 janvier 1833 à Königsberg (auj. Kaliningrad) et mort le 7 novembre 1872 à Göttingen. Il fit ses études à l'université de sa ville natale (1850-1854). Quoique Jacobi ne donnât plus de cours, l'école qu'il avait fondée était toujours florissante et parmi les professeurs de Clebsch on compte F. Richelot et O. Hesse, élèves de Jaco […] Lire la suite

COURBES TRANSFORMATIONS DE

  • Écrit par 
  • Robert FERRÉOL
  •  • 5 802 mots
  •  • 34 médias

Dans le chapitre « Classification projective des courbes algébriques »  : […] Une homographie conserve le caractère algébrique d'une courbe, ainsi que son degré, sa classe et son genre. On va s'intéresser ici aux classes d'équivalence projectives pour les courbes de degré 2 ou 3. […] Lire la suite

CRAMER GABRIEL (1704-1752)

  • Écrit par 
  • Jacques MEYER
  •  • 153 mots

Né à Genève, Cramer devint dès l'âge de vingt ans professeur de mathématiques à l'université de cette ville. Son ouvrage le plus célèbre est un traité sur les courbes algébriques, Introduction à l'analyse des lignes courbes algébriques , publié en 1750. Cet ouvrage contient la première démonstration du théorème qui affirme qu'une courbe de degré n est en général déterminée par la donnée de n ( n […] Lire la suite

DEDEKIND RICHARD (1831-1916)

  • Écrit par 
  • Jean DIEUDONNÉ
  •  • 2 097 mots

Dans le chapitre « Les courbes algébriques planes »  : […] En 1882, en collaboration avec H. Weber, Dedekind montrait que les mêmes principes peuvent aussi servir à fonder, de façon purement algébrique, la théorie des courbes algébriques planes qui, jusqu'alors, paraissaient du ressort de la géométrie et de l'analyse. Ce qui doit ici remplacer l'anneau des entiers rationnels Z , c'est l'anneau C[ x ] des polynômes en une variable, à coefficients complexe […] Lire la suite

DIOPHANTIENNES ÉQUATIONS

  • Écrit par 
  • Jean-Louis COLLIOT-THÉLÈNE, 
  • Marcel DAVID, 
  • Universalis
  •  • 6 374 mots
  •  • 1 média

Dans le chapitre « Méthodes géométriques »  : […] Pour classer les types d'équations, on utilise d'abord la dimension, ou nombre de variables indépendantes, du système proposé. Ainsi, en général, un système : est de dimension ( n  −  r ). En dimension 1, on parle de courbes ; en dimension 2, de surfaces. Les solutions en nombres entiers ou rationnels du système proposé ne sont autres que les points entiers ou rationnels de la variété algébrique […] Lire la suite

ENRIQUES FEDERIGO (1871-1946)

  • Écrit par 
  • Jean DIEUDONNÉ
  •  • 232 mots

Mathématicien italien, Federigo Enriques a travaillé sur la géométrie algébrique et la géométrie différentielle. Né à Livourne, Enriques fit ses études supérieures jusqu'au doctorat à l'université de Pise, puis se rendit à Rome pour suivre les cours de Cremona ; il s'y lia avec G. Castelnuovo, de quelques années son aîné. Leurs travaux ont développé la théorie des surfaces algébriques en utilisant […] Lire la suite

Voir aussi

Pour citer l’article

Luc GAUTHIER, « COURBES ALGÉBRIQUES », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 02 février 2021. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/courbes-algebriques/