COURBES ALGÉBRIQUES
Courbes unicursales
Lorsqu'on a obtenu pour une courbe une représentation paramétrique uniforme, on détient un moyen commode pour l'étude de ses propriétés globales. C'est la raison de l'intérêt porté aux courbes unicursales, c'est-à-dire aux courbes qui, en coordonnées affines, admettent une représentation paramétrique rationnelle :
Les courbes unicursales sont souvent appelées les courbes rationnelles, car il résulte d'un théorème de Lüroth qu'elles sont les transformées birationnelles des droites projectives.
Les coniques (courbes algébriques irréductibles du second degré) sont rationnelles ; elles admettent en effet la forme réduite projective :
L'équation de la tangente au point courant d'une courbe paramétrique et la théorie des enveloppes montrent qu'il y a identité entre les courbes qui sont rationnelles du point de vue ponctuel et les courbes qui sont rationnelles du point de vue tangentiel.
Les cubiques rationnelles sont les cubiques à point double, dont nous avons donné les deux modèles ; la cubique nodale citée ci-dessus admet pour représentation :
La cubique cuspidale citée ci-dessus admet la représentation :
Les courbes rationnelles sont, parmi les courbes irréductibles de leur degré, celles qui ont les singularités les plus importantes, soit par leur nombre, soit par la complexité de leur structure : si une courbe rationnelle de degré n n'a que des points doubles de même nature que ceux des cubiques, ces points sont au nombre de :
C'est ainsi que la quartique tricuspidale citée plus haut est rationnelle ; elle admet la représentation :
Trifolium
Encyclopædia Universalis France
Mais la quartique d'équation (affine) :
L'existence de points doubles plus complexes (points infiniment voisins, contact des branches algébroïdes) permet de donner des exemples d'une nature différente.
Quartique (1)
Encyclopædia Universalis France
La quartique d'équation (affine) :
Quartique (2)
Encyclopædia Universalis France
La quartique d'équation (affine) :
La suite de cet article est accessible aux abonnés
- Des contenus variés, complets et fiables
- Accessible sur tous les écrans
- Pas de publicité
Déjà abonné ? Se connecter
Écrit par
- Luc GAUTHIER : ancien vice-doyen de la faculté des sciences de Paris
Classification
Pour citer cet article
Luc GAUTHIER. COURBES ALGÉBRIQUES [en ligne]. In Encyclopædia Universalis. Disponible sur : (consulté le )
Article mis en ligne le et modifié le 14/03/2009
Médias
Coordonnées
Planeta Actimedia S.A.© Encyclopædia Universalis France pour la version française.
Strophoïde
Encyclopædia Universalis France
Cissoïde
Encyclopædia Universalis France
Autres références
-
BÉZOUT ÉTIENNE (1739-1783)
- Écrit par Jacques MEYER
- 172 mots
Le nom d'Étienne Bézout doit être associé à l'utilisation des déterminants dans la théorie des équations algébriques. Dans son mémoire à l'Académie (1764) et surtout dans son ouvrage Théorie générale des équations algébriques (1779), Bézout donne des règles pour résoudre...
-
CALCUL INFINITÉSIMAL - Histoire
- Écrit par René TATON
- 11 465 mots
- 3 médias
...est, aux environs du point de contact, tout entière d'un même côté de la courbe, il réussit à ramener la détermination de la tangente en un point d'une courbe algébrique à la recherche de l'extrémum d'une fonction algébrique, d'où il déduit la sous-tangente à la courbe donnée au point considéré.... -
CASTELNUOVO GUIDO (1865-1952)
- Écrit par Jean-Luc VERLEY
- 342 mots
Mathématicien italien dont les travaux ont porté principalement sur la géométrie algébrique. Né à Venise, Castelnuovo fut l'élève de Véronèse à Padoue ; assistant à Turin, il eut avec C. Segre de nombreux entretiens d'où devait sortir l'exposé de la géométrie sur une courbe algébrique, publié...
-
CLAIRAUT ALEXIS CLAUDE (1713-1765)
- Écrit par Encyclopædia Universalis
- 212 mots
Mathématicien français. Né à Paris, Clairaut (ou Clairault) fit, sous la conduite de son père qui était professeur de mathématiques, de tels progrès en cette science qu'à l'âge de douze ans il lisait devant l'Académie une note sur les propriétés de quatre courbes qu'il avait découvertes. Ses ...
- Afficher les 25 références
