COURBES ALGÉBRIQUES

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Courbes unicursales

Lorsqu'on a obtenu pour une courbe une représentation paramétrique uniforme, on détient un moyen commode pour l'étude de ses propriétés globales. C'est la raison de l'intérêt porté aux courbes unicursales, c'est-à-dire aux courbes qui, en coordonnées affines, admettent une représentation paramétrique rationnelle :

où P, Q, R sont des polynômes en t.

Les courbes unicursales sont souvent appelées les courbes rationnelles, car il résulte d'un théorème de Lüroth qu'elles sont les transformées birationnelles des droites projectives.

Les coniques (courbes algébriques irréductibles du second degré) sont rationnelles ; elles admettent en effet la forme réduite projective :

qui conduit à la représentation :
t, θ sont des paramètres complexes. De ce fait, on peut définir sur une conique le birapport de quatre points, les divisions homographiques et involutives. Ces notions peuvent être étendues à toute courbe rationnelle.

L'équation de la tangente au point courant d'une courbe paramétrique et la théorie des enveloppes montrent qu'il y a identité entre les courbes qui sont rationnelles du point de vue ponctuel et les courbes qui sont rationnelles du point de vue tangentiel.

Les cubiques rationnelles sont les cubiques à point double, dont nous avons donné les deux modèles ; la cubique nodale citée ci-dessus admet pour représentation :

et la condition nécessaire et suffisante pour que trois points de la courbe soient alignés est t1t2t3 = 1.

La cubique cuspidale citée ci-dessus admet la représentation :

et la condition d'alignement de trois points est :

Les courbes rationnelles sont, parmi les courbes irréductibles de leur degré, celles qui ont les singularités les plus importantes, soit par leur nombre, soit par la complexité de leur structure : si une courbe rationnelle de degré n n'a que des points doubles de même nature que ceux des cubiques, ces points sont au nombre de :

C'est ainsi que la quartique tricuspidale citée plus haut est rationnelle ; elle admet la représentation :

Mais la quartique d'équation (affine) :

que l'on [...]

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  • : ancien vice-doyen de la faculté des sciences de Paris

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Pour citer l’article

Luc GAUTHIER, « COURBES ALGÉBRIQUES », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 03 février 2021. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/courbes-algebriques/