COURBES ALGÉBRIQUES

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Tangentes

Intersection avec une droite

Considérons une droite projective joignant les point A(x1y1z1) et B(x2y2z2) et son intersection avec la courbe F(xyz) = 0. On obtient :

Si tous les coefficients sont nuls, cette équation est une identité : tout point de la droite appartient à la courbe qui admet la droite comme composante irréductible.

Toute droite qui n'est pas composante de la courbe la coupe en n points (n étant le degré de F) compte tenu de leur ordre de multiplicité, et cet énoncé a exactement la même signification que l'affirmation : une équation algébrique de degré n admet n racines.

Supposons maintenant que A est un point de la courbe F(A) = 0, et faisons varier B arbitrairement ; si le polynôme :

n'est pas nul quel que soit M, toute droite passant par A coupe la courbe en ce point avec la multiplicité 1, à l'exception de la droite :
qui coupe la courbe en A avec une multiplicité au moins égale à 2. Le point A est alors appelé un point simple de la courbe, et la sécante exceptionnelle est appelée la tangente en A (en accord avec les formules différentielles de la géométrie analytique).

Lorsque :

sont nuls quel que soit M, sans qu'il en soit ainsi de Pk, toute droite passant par A coupe la courbe en ce point avec la multiplicité k, à l'exception des droites qui vérifient Pk(A, M) = 0, qui coupent la courbe en A avec une multiplicité au moins égale à k + 1. Le point A est alors appelé un point multiple k-uple de la courbe, et les sécantes exceptionnelles sont appelées les tangentes en A.

Le point A est multiple k-uple de la courbe si toutes les dérivées d'ordre k − 1 de F sont nulles en ce point (et pas toutes les dérivées d'ordre k). Bien entendu, un changement de variables projectif sur (λ, μ) ou sur (xyz) montre que les résultats précédents sont indépendants des repères.

Équation tangentielle

La question se pose alors de caractériser une courbe algébrique non plus comme l'ensemble de ses points, mais comme l'ensemble de ses tangentes. L'équation tangentielle est une condition nécessaire et suffisante entre les nombres uvw pour que la droite d [...]

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  • : ancien vice-doyen de la faculté des sciences de Paris

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Pour citer l’article

Luc GAUTHIER, « COURBES ALGÉBRIQUES », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 06 juillet 2021. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/courbes-algebriques/