COURBES ALGÉBRIQUES
Tangentes
Intersection avec une droite
Considérons une droite projective joignant les point A(x1, y1, z1) et B(x2, y2, z2) et son intersection avec la courbe F(x, y, z) = 0. On obtient :
Si tous les coefficients sont nuls, cette équation est une identité : tout point de la droite appartient à la courbe qui admet la droite comme composante irréductible.
Toute droite qui n'est pas composante de la courbe la coupe en n points (n étant le degré de F) compte tenu de leur ordre de multiplicité, et cet énoncé a exactement la même signification que l'affirmation : une équation algébrique de degré n admet n racines.
Supposons maintenant que A est un point de la courbe F(A) = 0, et faisons varier B arbitrairement ; si le polynôme :
Lorsque :
Le point A est multiple k-uple de la courbe si toutes les dérivées d'ordre k − 1 de F sont nulles en ce point (et pas toutes les dérivées d'ordre k). Bien entendu, un changement de variables projectif sur (λ, μ) ou sur (x, y, z) montre que les résultats précédents sont indépendants des repères.
Équation tangentielle
La question se pose alors de caractériser une courbe algébrique non plus comme l'ensemble de ses points, mais comme l'ensemble de ses tangentes. L'équation tangentielle est une condition nécessaire et suffisante entre les nombres u, v, w pour que la droite d'équation projective :
Lorsque la courbe est irréductible (et n'est pas une droite), l'un des facteurs irréductibles de G représente l'enveloppe proprement dite, c'est-à-dire l'ensemble des tangentes ; les autres facteurs irréductibles sont linéaires : chacun exprime le passage d'une droite par l'un des points singuliers de la courbe.
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Écrit par
- Luc GAUTHIER : ancien vice-doyen de la faculté des sciences de Paris
Classification
Pour citer cet article
Luc GAUTHIER. COURBES ALGÉBRIQUES [en ligne]. In Encyclopædia Universalis. Disponible sur : (consulté le )
Article mis en ligne le et modifié le 14/03/2009
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Autres références
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BÉZOUT ÉTIENNE (1739-1783)
- Écrit par Jacques MEYER
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Le nom d'Étienne Bézout doit être associé à l'utilisation des déterminants dans la théorie des équations algébriques. Dans son mémoire à l'Académie (1764) et surtout dans son ouvrage Théorie générale des équations algébriques (1779), Bézout donne des règles pour résoudre...
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CALCUL INFINITÉSIMAL - Histoire
- Écrit par René TATON
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...est, aux environs du point de contact, tout entière d'un même côté de la courbe, il réussit à ramener la détermination de la tangente en un point d'une courbe algébrique à la recherche de l'extrémum d'une fonction algébrique, d'où il déduit la sous-tangente à la courbe donnée au point considéré.... -
CASTELNUOVO GUIDO (1865-1952)
- Écrit par Jean-Luc VERLEY
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Mathématicien italien dont les travaux ont porté principalement sur la géométrie algébrique. Né à Venise, Castelnuovo fut l'élève de Véronèse à Padoue ; assistant à Turin, il eut avec C. Segre de nombreux entretiens d'où devait sortir l'exposé de la géométrie sur une courbe algébrique, publié...
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CLAIRAUT ALEXIS CLAUDE (1713-1765)
- Écrit par Encyclopædia Universalis
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Mathématicien français. Né à Paris, Clairaut (ou Clairault) fit, sous la conduite de son père qui était professeur de mathématiques, de tels progrès en cette science qu'à l'âge de douze ans il lisait devant l'Académie une note sur les propriétés de quatre courbes qu'il avait découvertes. Ses ...
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