COURBES ALGÉBRIQUES

Le genre

L'étude locale a permis de définir en chaque point d'une courbe algébrique une ou plusieurs branches algébroïdes : on appelle place la donnée d'un point et d'une branche algébroïde issue de ce point. L'ensemble des places d'une courbe est la riemannienne de cette courbe et on appelle cycle (parfois aussi diviseur) de la courbe une combinaison linéaire formelle à coefficients entiers, positifs, négatifs ou nuls, des points de la riemannienne, un nombre fini seulement de points ayant un coefficient non nul. Les cycles d'une courbe forment un groupe abélien.

On appelle ordre d'un cycle la somme de ses coefficients. Un cycle est dit effectif (ou positif) si tous ses coefficients sont positifs ou nuls. Un cycle effectif ayant une signification géométrique simple peut, par exemple, être obtenu en envisageant, sur une courbe C irréductible coupée par une courbe algébrique γ, chaque branche algébroïde affectée de la multiplicité de Bezout correspondante.

Plus généralement, étant donné une fraction rationnelle N(x, y, z)/D(x, y, z), où N et D sont deux polynômes homogènes de même degré, dont aucun n'est nul sur toute la courbe C, on peut lui associer le cycle Z_N − Z_D, différence des cycles associés au numérateur et au dénominateur : on vérifie en effet que toutes les fractions, formellement différentes, qui ont la même valeur le long de C, conduisent au même cycle. Les cycles associés aux fractions rationnelles sont d'ordre zéro et forment un sous-groupe abélien.

Deux cycles sont équivalents si leur différence est un cycle associé à une fraction rationnelle. On appelle série linéaire complète l'ensemble des cycles effectifs équivalents à un cycle effectif donné ; cet ensemble a la structure d'un espace projectif : si n est l'ordre commun à tous ces cycles et r la dimension de l'espace projectif qu'ils constituent, on désigne la série linéaire par g^r_n. La classe d'équivalence d'un cycle est souvent appelée série linéaire virtuelle.

Deux séries linéaires étant données, prenons un cycle effectif (respectivement Z, Z′) dans chacune d'elles : le cycle Z + Z′ est effectif et définit une série linéaire complète, somme des deux séries linéaires données. Par exemple, les droites qui coupent une cubique elliptique en un point fixe découpent sur la courbe une g¹₂. Deux g¹₂ étant définies par les droites issues des points A et B de la courbe, la somme est la g³₄ découpée sur la courbe par les coniques qui passent par A et B ou par tout couple de points équivalents.

Le théorème du reste de Brill-Noether énonce que tous les cycles effectifs (s'il en existe) obtenus par différence des cycles de deux séries linéaires forment une série linéaire. Il a trouvé de nombreuses applications à l'étude des intersections complètes. C'est ainsi, par exemple, que si, parmi les neuf points communs à deux cubiques, il y en a six qui sont situés sur une même conique, les trois autres sont alignés.

Introduit par Riemann, le genre p d'une courbe algébrique irréductible est le nombre des intégrales abéliennes de première espèce, attachées à la courbe, linéairement indépendantes. Les différentielles holomorphes sur la courbe définissent des cycles équivalents qui constituent la classe canonique K : les cycles canoniques effectifs constituent la série canonique qui a l'ordre 2 p − 2 et la dimension p − 1. Sur une courbe rationnelle, K a l'ordre − 2. Sur une courbe elliptique, K a l'ordre zéro ; seul le cycle nul appartient à la série canonique qui a la dimension zéro. Cela tient à ce que, selon un théorème de Liouville, les seules fonctions elliptiques holomorphes sont les constantes.

Soit G un cycle d'une série linéaire g^r_n : si la classe K − G contient des cycles effectifs, on[...]