COURBES ALGÉBRIQUES

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L'étude locale a permis de définir en chaque point d'une courbe algébrique une ou plusieurs branches algébroïdes : on appelle place la donnée d'un point et d'une branche algébroïde issue de ce point. L'ensemble des places d'une courbe est la riemannienne de cette courbe et on appelle cycle (parfois aussi diviseur) de la courbe une combinaison linéaire formelle à coefficients entiers, positifs, négatifs ou nuls, des points de la riemannienne, un nombre fini seulement de points ayant un coefficient non nul. Les cycles d'une courbe forment un groupe abélien.

On appelle ordre d'un cycle la somme de ses coefficients. Un cycle est dit effectif (ou positif) si tous ses coefficients sont positifs ou nuls. Un cycle effectif ayant une signification géométrique simple peut, par exemple, être obtenu en envisageant, sur une courbe C irréductible coupée par une courbe algébrique γ, chaque branche algébroïde affectée de la multiplicité de Bezout correspondante.

Plus généralement, étant donné une fraction rationnelle N(xyz)/D(xyz), où N et D sont deux polynômes homogènes de même degré, dont aucun n'est nul sur toute la courbe C, on peut lui associer le cycle ZN − ZD, différence des cycles associés au numérateur et au dénominateur : on vérifie en effet que toutes les fractions, formellement différentes, qui ont la même valeur le long de C, conduisent au même cycle. Les cycles associés aux fractions rationnelles sont d'ordre zéro et forment un sous-groupe abélien.

Deux cycles sont équivalents si leur différence est un cycle associé à une fraction rationnelle. On appelle série linéaire complète l'ensemble des cycles effectifs équivalents à un cycle effectif donné ; cet ensemble a la structure d'un espace projectif : si n est l'ordre commun à tous ces cycles et r la dimension de l'espace projectif qu'ils constituent, on désigne la série linéaire par grn. La classe d'équivalence d'un cycle est souvent appelée série linéaire virtuelle.

Deux séries linéaires étant données, prenons un cycle effectif (respectivement Z, Z′) dans chacune d'elles : le cycle Z + Z′ est effectif et [...]

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  • : ancien vice-doyen de la faculté des sciences de Paris

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Pour citer l’article

Luc GAUTHIER, « COURBES ALGÉBRIQUES », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 02 février 2021. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/courbes-algebriques/