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COURBES ALGÉBRIQUES

Étude locale d'un point singulier

Un point d'une courbe algébrique étant pris comme origine des coordonnées dans un modèle affine, l'étude du voisinage de O a été poursuivie par deux méthodes. Celle de Noether consiste à effectuer des transformations birationnelles ayant O pour point d'indétermination : elle relève des techniques de la géométrie algébrique. Celle de Enriques consiste à utiliser les développements de Puiseux : elle relève de l'analyse classique des fonctions d'une variable complexe.

La courbe (irréductible) F(x, y) = 0, qui passe en O, définit y comme fonction algébrique de la variable complexe x, multiforme, dont certaines déterminations s'annulent pour x = 0.

On appelle branche algébroïde de la courbe F un ensemble de ces déterminations qui subit une permutation circulaire lorsque la variable complexe x décrit, dans le plan complexe, un petit cercle autour de l'origine. Si k est le nombre de déterminations constituant une branche, en faisant le changement de variable x = tk, chacune de ces déterminations devient une fonction entière de t  : y = f (t), et on passe de l'une à la suivante en changeant t en ζt, le coefficient ζ étant une racine primitive k-ième de l'unité.

Les propriétés arithmétiques des exposants qui figurent dans la série entière f (t) ont été interprétées topologiquement (variété analytique complexe) et dans la géométrie infinitésimale de la courbe au voisinage de l'origine.

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Écrit par

  • : ancien vice-doyen de la faculté des sciences de Paris

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Pour citer cet article

Luc GAUTHIER. COURBES ALGÉBRIQUES [en ligne]. In Encyclopædia Universalis. Disponible sur : (consulté le )

Article mis en ligne le et modifié le 14/03/2009

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Autres références

  • BÉZOUT ÉTIENNE (1739-1783)

    • Écrit par
    • 172 mots

    Le nom d'Étienne Bézout doit être associé à l'utilisation des déterminants dans la théorie des équations algébriques. Dans son mémoire à l'Académie (1764) et surtout dans son ouvrage Théorie générale des équations algébriques (1779), Bézout donne des règles pour résoudre...

  • CALCUL INFINITÉSIMAL - Histoire

    • Écrit par
    • 11 465 mots
    • 3 médias
    ...est, aux environs du point de contact, tout entière d'un même côté de la courbe, il réussit à ramener la détermination de la tangente en un point d'une courbe algébrique à la recherche de l'extrémum d'une fonction algébrique, d'où il déduit la sous-tangente à la courbe donnée au point considéré....
  • CASTELNUOVO GUIDO (1865-1952)

    • Écrit par
    • 342 mots

    Mathématicien italien dont les travaux ont porté principalement sur la géométrie algébrique. Né à Venise, Castelnuovo fut l'élève de Véronèse à Padoue ; assistant à Turin, il eut avec C. Segre de nombreux entretiens d'où devait sortir l'exposé de la géométrie sur une courbe algébrique, publié...

  • CLAIRAUT ALEXIS CLAUDE (1713-1765)

    • Écrit par
    • 212 mots

    Mathématicien français. Né à Paris, Clairaut (ou Clairault) fit, sous la conduite de son père qui était professeur de mathématiques, de tels progrès en cette science qu'à l'âge de douze ans il lisait devant l'Académie une note sur les propriétés de quatre courbes qu'il avait découvertes. Ses ...

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