COURBES ALGÉBRIQUES

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Étude locale d'un point singulier

Un point d'une courbe algébrique étant pris comme origine des coordonnées dans un modèle affine, l'étude du voisinage de O a été poursuivie par deux méthodes. Celle de Noether consiste à effectuer des transformations birationnelles ayant O pour point d'indétermination : elle relève des techniques de la géométrie algébrique. Celle de Enriques consiste à utiliser les développements de Puiseux : elle relève de l'analyse classique des fonctions d'une variable complexe.

La courbe (irréductible) F(xy) = 0, qui passe en O, définit y comme fonction algébrique de la variable complexe x, multiforme, dont certaines déterminations s'annulent pour x = 0.

On appelle branche algébroïde de la courbe F un ensemble de ces déterminations qui subit une permutation circulaire lorsque la variable complexe x décrit, dans le plan complexe, un petit cercle autour de l'origine. Si k est le nombre de déterminations constituant une branche, en faisant le changement de variable x = tk, chacune de ces déterminations devient une fonction entière de  : y = (t), et on passe de l'une à la suivante en changeant t en ζt, le coefficient ζ étant une racine primitive k-ième de l'unité.

Les propriétés arithmétiques des exposants qui figurent dans la série entière (t) ont été interprétées topologiquement (variété analytique complexe) et dans la géométrie infinitésimale de la courbe au voisinage de l'origine.

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  • : ancien vice-doyen de la faculté des sciences de Paris

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Pour citer l’article

Luc GAUTHIER, « COURBES ALGÉBRIQUES », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 04 février 2021. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/courbes-algebriques/