CALCUL INFINITÉSIMALHistoire

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L'œuvre d'Archimède

Le précurseur du calcul infinitésimal

Mais c'est à Archimède que l'on doit les applications les plus nombreuses, les plus originales et les plus spectaculaires de la méthode d'exhaustion à la résolution de problèmes infinitésimaux, applications relevant pour la plupart du calcul intégral et, pour un cas seulement, du calcul différentiel.

Dans le domaine du calcul intégral, Archimède réalise des quadratures ou déterminations d'aires (cercle, segment de parabole, aires diverses liées à la spirale d'Archimède, aires latérales de cylindres et de cônes, sphères), des cubatures ou déterminations de volumes (pyramides, cône, sphère et segment de sphère, segments de quadriques de révolution), des déterminations de centres de gravité (intéressant en particulier la plupart des surfaces et des volumes précédemment mentionnés). Il réussit également à déterminer de façon rigoureuse la longueur de la circonférence de cercle (problème de rectification de courbe), suivant une méthode, aujourd'hui classique dans l'enseignement élémentaire, qu'il développa dans son traité de la Mesure du cercle.

Sa méthode de démonstration en calcul intégral est fondée sur une axiomatique rigoureuse et sur le recours systématique au procédé eudoxien d'exhaustion et, pour ce faire, à l'inévitable raisonnement par l'absurde. Cependant les considérations de statique qui apparaissent fréquemment dénotent la puissante originalité de leur auteur et révèlent son souci d'adapter des considérations théoriques d'une rigueur irréprochable à l'étude des problèmes fondamentaux rencontrés au cours de ses recherches d'ordre physicomécanique.

L'aire du segment de parabole

L'exemple de l'aire du segment de parabole permet d'avoir une idée précise des différentes préoccupations d'Archimède et de la variété des moyens que lui procure l'étendue de son génie.

Les diverses méthodes qu'il présente pour déterminer cette aire du segment S, délimité par un arc de parabole et la corde AB qui joint les extrémités de cet a[...]

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CALCUL INFINITÉSIMAL - Calcul à une variable

  • Écrit par 
  • Roger GODEMENT
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Créée au xviie siècle par Newton, Leibniz et leurs prédécesseurs immédiats, transformée au xviiie, par Euler, en un prodigieux instrument de calcul, débarrassée, sous la Restauration, de sa métaphysique par le baron Cauchy, l'analyse infinitésimale a, […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/calcul-infinitesimal-calcul-a-une-variable/

CALCUL INFINITÉSIMAL - Calcul à plusieurs variables

  • Écrit par 
  • Georges GLAESER
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Le calcul infinitésimal des fonctions de plusieurs variables a eu un développement plus tardif que celui des fonctions d'un seul argument. Inauguré avec un siècle de retard, il ne parvient à établir solidement ses fondements qu'au début du xxe siècle. Ce n'est qu'aux environs de 1930 que sont […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/calcul-infinitesimal-calcul-a-plusieurs-variables/

ABEL NIELS HENRIK (1802-1829)

  • Écrit par 
  • Jean-Luc VERLEY
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Le nom d'Abel reste également attaché aux premières tentatives pour asseoir le calcul infinitésimal sur des bases solides. Au début du xixe siècle, il régnait une grande obscurité dans l'analyse mathématique ; les notions de suites ou de séries convergentes n'étaient pas établies avec précision et les […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/niels-henrik-abel/#i_26303

ARCHIMÈDE (-287--212)

  • Écrit par 
  • Jean ITARD
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Dans le chapitre « De l'intuition à la preuve »  : […] des volumes par excès et défaut en remplaçant chaque couche par un cylindre circonscrit ou inscrit. Il utilisera, pour conclure, le raisonnement appelé, depuis le xviie siècle, « par exhaustion », et qui remonte à Eudoxe. Apparaissent ainsi nos « sommes de Riemann » et nos intégrales définies […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/archimede/#i_26303

BARROW ISAAC (1630-1677)

  • Écrit par 
  • Universalis
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Mathématicien et théologien anglais qui fut un des précurseurs du calcul infinitésimal. Ordonné ministre anglican en 1668, Isaac Barrow enseigna le grec à l'université de Cambridge (1660-1663) et fut nommé, en 1662, professeur de mathématiques au collège Gresham de Londres. En 1664, il devient professeur de mathématiques à l'université de Cambridge […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/isaac-barrow/#i_26303

BERNOULLI LES

  • Écrit par 
  • Universalis
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Dans le chapitre « Jean Bernoulli »  : […] Diffusion du calcul infinitésimal. Jean Bernoulli fut un remarquable professeur qui expliqua et fit connaître avec passion le nouveau calcul leibnizien. C'est lui qui l'introduisit en France en 1691-1692 et on lui doit le premier traité de calcul différentiel et intégral écrit vers cette même époque à l'intention […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/les-bernoulli/#i_26303

LE CALCUL DES FLUXIONS (I. Newton)

  • Écrit par 
  • Bernard PIRE
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En octobre 1666, Isaac Newton (1642-1727) écrit Le Calcul des fluxions qui, sans être immédiatement publié, sera déterminant pour le développement du calcul différentiel. Il y définit le concept de fluxions. Newton décrit une particule […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/le-calcul-des-fluxions/#i_26303

CANTOR GEORG (1845-1918)

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L’invention, au xviie siècle, du calcul infinitésimal qui introduit une manière d’ajouter, soustraire, diviser et multiplier des quantités infinies, ne ruine pas le substantialisme aristotélicien en vertu duquel on ne saurait reconnaître de réalité à un concept au référent « fluent », sans […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/georg-cantor/#i_26303

CARLEMAN TORSTEN (1892-1949)

  • Écrit par 
  • Jacques MEYER
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Avant d'enseigner, Carleman travailla à l'université d'Upsal (où il il fit ses études supérieures) et publia une trentaine d'articles mathématiques traitant de la théorie des fonctions d'une variable réelle ou complexe et de la théorie des équations intégrales ; parmi ces œuvres, les plus connues sont : Sur les équations singulières […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/torsten-carleman/#i_26303

CARNOT LAZARE NICOLAS MARGUERITE (1753-1823)

  • Écrit par 
  • Jan SEBESTIK
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rédigé son ouvrage le plus célèbre, Réflexions sur la métaphysique du calcul infinitésimal (1797). Il s'y propose de fonder l'analyse infinitésimale de manière rigoureuse et d'unifier ainsi les différentes approches : la méthode d'exhaustion, la méthode des limites, la méthode des quantités évanouissantes et la méthode de […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/lazare-nicolas-marguerite-carnot/#i_26303

CAUCHY AUGUSTIN-LOUIS (1789-1857)

  • Écrit par 
  • Jean DIEUDONNÉ
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Dans le chapitre « Le retour à la rigueur »  : […] ou de continuité uniforme qui lui échappent comme d'ailleurs à tous ses contemporains. Il n'en reste pas moins que, sur les principes mêmes du calcul infinitésimal, ses conceptions sont essentiellement correctes et apportent la clarté qui faisait si cruellement défaut jusqu'alors : entre beaucoup d'autres, sa définition d'une fonction continue, […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/augustin-louis-cauchy/#i_26303

CAVALIERI FRANCESCO BONAVENTURA (1598-1647)

  • Écrit par 
  • Universalis
  •  • 361 mots

Mathématicien dont les recherches en géométrie préfigurent le calcul intégral. Dans sa jeunesse, Cavalieri rejoignit les jésuates (souvent appelés clercs religieux de saint Jérôme), un ordre religieux qui suivait la règle de saint Augustin et qui fut supprimé en 1668 par le pape Clément X. Les œuvres d'Euclide éveillèrent […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/francesco-bonaventura-cavalieri/#i_26303

COURNOT ANTOINE AUGUSTIN (1801-1877)

  • Écrit par 
  • Bernard VALADE
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Dans le chapitre « La place fondatrice des mathématiques dans l'œuvre de Cournot »  : […] livres, le Traité élémentaire de la théorie des fonctions et du calcul infinitésimal (1841), où se marque un net retour aux idées de Newton et de Leibniz, mais aussi dans deux mémoires peu connus, l'un sur la distribution des orbites et des comètes dans l'espace (Bulletin de Ferussac, t. XI), l'autre sur […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/antoine-augustin-cournot/#i_26303

FERMAT PIERRE DE (1601-1665)

  • Écrit par 
  • Catherine GOLDSTEIN, 
  • Jean ITARD
  • , Universalis
  •  • 4 157 mots

Dans le chapitre « Calcul infinitésimal »  : […] Dès 1629, Fermat, dans sa Méthode de recherche des maximums et des minimums, apparaît comme un précurseur du calcul différentiel. Voici, en langage plus moderne, cette méthode : Si R(x) est une fonction rationnelle de x, l'équation R(x […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/pierre-de-fermat/#i_26303

GAUSS CARL FRIEDRICH (1777-1855)

  • Écrit par 
  • Pierre COSTABEL, 
  • Jean DIEUDONNÉ
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Dans le chapitre « La rigueur »  : […] siècle avaient totalement négligé d'asseoir sur des bases solides leurs raisonnements de calcul infinitésimal et notamment n'hésitaient pas à calculer sur des séries divergentes, ils obtenaient d'ailleurs souvent ainsi des résultats exacts (pour des raisons qui nous sont maintenant claires mais ne pouvaient absolument pas être comprises à cette […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/carl-friedrich-gauss/#i_26303

ISLAM (La civilisation islamique) - Les mathématiques et les autres sciences

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  • Roshdi RASHED
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Dans le chapitre « Déterminations infinitésimales »  : […] L'étude des comportements asymptotiques et des objets infinitésimaux représente une part substantielle de la recherche mathématique en arabe. À partir du ixe siècle, les mathématiciens ont engagé la recherche en trois principaux domaines : le calcul des aires et des volumes infinitésimaux ; la […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/islam-la-civilisation-islamique-les-mathematiques-et-les-autres-sciences/#i_26303

LEIBNIZ : CALCUL DIFFÉRENTIEL

  • Écrit par 
  • Bernard PIRE
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Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) publie en 1684 les détails de son calcul différentiel dans son traité Nova methodus pro maximis et minimis, itemque tangentibus. Il y reprend ses découvertes antérieures. Il avait introduit la notation […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/leibniz-calcul-differentiel/#i_26303

LEIBNIZ GOTTFRIED WILHELM

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  • Martine DE GAUDEMAR
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Dans le chapitre « Un mathématicien de génie qui renouvelle la pensée mathématique »  : […] universelle, concernent précisément la métaphysique de l'expression et des signes. Le calcul différentiel et intégral lui-même, ruse de la raison pour saisir l'infini à partir du fini, a une ambition métaphysique et une valeur pratique : la facilité des notations inventées par Leibniz pour des grandeurs évanouissantes ou infiniment petites sous la […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/leibniz-g-w/#i_26303

L'HOSPITAL GUILLAUME DE (1661-1704)

  • Écrit par 
  • Jacques MEYER
  •  • 165 mots

Mathématicien français né et mort à Paris. Guillaume de L'Hospital, marquis de Sainte-Mesme, a été l'un des premiers élèves de Jean Bernoulli qui lui enseigna les méthodes nouvelles de l'analyse mathématique. Il a fait connaître à l'ensemble des mathématiciens les travaux de Leibniz et des Bernoulli et a introduit la […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/guillaume-de-l-hospital/#i_26303

LIMITE NOTION DE

  • Écrit par 
  • Christian HOUZEL
  •  • 1 194 mots

La notion de limite fait son apparition dans un ouvrage du mathématicien anglais B. Robins intitulé A Discourse Concerning the Nature and Certainty of Sir Isaac Newton's Method of Fluxions and Prime and Ultimate Ratios (1735) ; c'est une réponse aux critiques formulées par le philosophe G. Berkeley à l'encontre du calcul […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/notion-de-limite/#i_26303

NEWTON ISAAC (1642-1727)

  • Écrit par 
  • Michel PATY
  •  • 4 665 mots
  •  • 4 médias

Dans le chapitre « L'œuvre mathématique »  : […] Arithmétique des infinis de Wallis. Si Barrow eut un rôle stimulant, il faut assurément attribuer l'inspiration décisive pour l'invention du calcul infinitésimal à la lignée de mathématiciens qui va de Descartes à Fermat – et sa méthode des maxima et des minima des courbes –, Pascal, Roberval, Torricelli, Cavalieri, Wallis et Gregory […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/isaac-newton/#i_26303

NOVA STEREOMETRIA DOLIORUM VINARIORUM (J. Kepler)

  • Écrit par 
  • Bernard PIRE
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orum) est une étape importante à l’élaboration des techniques infinitésimales qui aboutiront avec les travaux de Gottfried Leibniz (1646-1716) et d’Isaac Newton (1642-1727) au calcul différentiel et intégral. En 112 pages riches de l’énoncé de 29 théorèmes accompagnés de corollaires et de figures explicatives, Kepler surpasse les […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/nova-stereometria-doliorum-vinariorum/#i_26303

PASCAL BLAISE (1623-1662)

  • Écrit par 
  • Dominique DESCOTES, 
  • François RUSSO
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Dans le chapitre « L'analyse infinitésimale »  : […] Pascal occupe une place centrale dans l'histoire de l'analyse infinitésimale. Ses travaux sur ce sujet se situent environ entre 1650 et 1660, donc dans les dernières années de sa vie, et s'appuient sur ceux, un peu antérieurs, de Stevin, Descartes, Roberval, Torricelli, Grégoire de Saint-Vincent et Tacquet. Ils sont à peu près contemporains de ceux […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/blaise-pascal/#i_26303

STIRLING JAMES (1692-1770)

  • Écrit par 
  • Universalis
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Mathématicien anglais, né en mai 1692 à Gardon (Stirling) et mort le 5 décembre 1770 à Édimbourg, qui fit faire d'importants progrès à la théorie des séries. Renvoyé d'Oxford pour intelligence avec les jacobites, James Stirling vint, en 1715, étudier à Venise, ce qui lui valut de surnom de Stirling le Vénitien. Il y découvrit les secrets de […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/stirling-james-1692-1770/#i_26303

TAYLOR BROOK (1685-1731)

  • Écrit par 
  • Universalis
  •  • 300 mots

Mathématicien anglais, né à Edmonton et mort à Londres, célèbre pour ses contributions au développement du calcul infinitésimal. Taylor fit ses études au collège Saint John, à Cambridge, et étudia les mathématiques sous la direction de John Machin et de John Keill. Il obtint, en 1708, une remarquable solution du problème du « centre d'oscillation […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/brook-taylor/#i_26303

TRAITÉ DE CALCUL DIFFERENTIEL ET DE CALCUL INTÉGRAL

  • Écrit par 
  • Bernard PIRE
  •  • 371 mots

en dédicace, c'est qu'il estime, comme il le déclare d'abord dans la Préface, que « la découverte du calcul infinitésimal a été pour la science mathématique le plus grand progrès qu'elle ait jamais fait ». Bertrand décrit ensuite avec quelques détails l'histoire de ce domaine mathématique et en particulier les apports […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/traite-de-calcul-differentiel-et-de-calcul-integral/#i_26303

WALLIS JOHN (1616-1703)

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  • Universalis
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Mathématicien anglais né le 23 novembre 1616 à Ashford (Kent) et mort le 28 octobre 1703 à Oxford, Wallis est un des plus illustres précurseurs d'Isaac Newton. En 1632, il entre au collège Emmanuel de Cambridge, où il se distingue dans de nombreux domaines. Environ huit ans plus tard, il obtient une bourse au Queens' College […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/john-wallis/#i_26303

Voir aussi

Pour citer l’article

René TATON, « CALCUL INFINITÉSIMAL - Histoire », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 17 novembre 2018. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/calcul-infinitesimal-histoire/