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L'œuvre d'Archimède

Le précurseur du calcul infinitésimal

Mais c'est à Archimède que l'on doit les applications les plus nombreuses, les plus originales et les plus spectaculaires de la méthode d'exhaustion à la résolution de problèmes infinitésimaux, applications relevant pour la plupart du calcul intégral et, pour un cas seulement, du calcul différentiel.

Dans le domaine du calcul intégral, Archimède réalise des quadratures ou déterminations d'aires (cercle, segment de parabole, aires diverses liées à la spirale d'Archimède, aires latérales de cylindres et de cônes, sphères), des cubatures ou déterminations de volumes (pyramides, cône, sphère et segment de sphère, segments de quadriques de révolution), des déterminations de centres de gravité (intéressant en particulier la plupart des surfaces et des volumes précédemment mentionnés). Il réussit également à déterminer de façon rigoureuse la longueur de la circonférence de cercle (problème de rectification de courbe), suivant une méthode, aujourd'hui classique dans l'enseignement élémentaire, qu'il développa dans son traité de la Mesure du cercle.

Sa méthode de démonstration en calcul intégral est fondée sur une axiomatique rigoureuse et sur le recours systématique au procédé eudoxien d'exhaustion et, pour ce faire, à l'inévitable raisonnement par l'absurde. Cependant les considérations de statique qui apparaissent fréquemment dénotent la puissante originalité de leur auteur et révèlent son souci d'adapter des considérations théoriques d'une rigueur irréprochable à l'étude des problèmes fondamentaux rencontrés au cours de ses recherches d'ordre physicomécanique.

L'aire du segment de parabole

L'exemple de l'aire du segment de parabole permet d'avoir une idée précise des différentes préoccupations d'Archimède et de la variété des moyens que lui procure l'étendue de son génie.

Les diverses méthodes qu'il présente pour déterminer cette aire du segment S, délimité par un arc de parabole et la corde AB qui joint les extrémités de cet arc, ont pour principe commun de la comparer soit à l'aire du triangle ABT, circonscrit à ce segment (triangle déterminé par AB et par les tangentes à l'arc de parabole en ses extrémités), soit à l'aire d'un triangle inscrit particulier ABC, ayant pour troisième sommet C, le sommet de l'arc, c'est-à-dire le point où la tangente est parallèle à AB (il est aisé de voir que l'aire de ce triangle ABC est le quart de celle du triangle ABT). Le traité de la Quadrature de la parabole présente successivement deux méthodes pour déterminer cette aire. La première, qui fait un assez large appel à des considérations de statique, lui permet d'établir que le rapport de l'aire du triangle ABT à celle du segment de parabole, ne pouvant être ni supérieur ni inférieur à 3, est égal à ce nombre. La seconde méthode, plus proche de celle qu'Eudoxe avait utilisée dans la cubature de la pyramide, vise à déterminer le rapport de l'aire du segment de parabole à celle du triangle ABC. À cette fin, elle considère l'aire du segment de parabole comme la limite de la suite infinie des aires de polygones déterminés, chacun à partir du précédent, par doublement du nombre des côtés et introduction comme sommets intermédiaires des « sommets » des arcs de parabole limités par les côtés de ce dernier. Le rapport cherché apparaît ainsi comme la limite de la suite infinie croissante :

limite qu'Archimède montre être égale à 4/3. Une double démonstration par l'absurde lui permet alors d'établir que l'aire du segment de parabole ne peut être ni inférieure ni supérieure aux 4/3 de celle du triangle inscrit ABC.

Figure 1

Dessin : Figure 1

Figure 1. 

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Il apparaît clairement que, si ces deux méthodes permettent de démontrer l'exactitude d'un résultat connu à l'avance, elles ne peuvent en aucune façon permettre de découvrir ce dernier. Il en est de même des nombreuses autres démonstrations de caractère infinitésimal données par Archimède dans ses différents écrits, du moins dans ceux qui étaient connus avant la redécouverte, en 1906, d'une sorte de testament scientifique où il révèle partiellement le secret de ses découvertes. Ce texte, cité en général par le titre abrégé de Méthode, se présente sous la forme d'une lettre adressée par Archimède à son ami le géographe Ératosthène, pour l'informer sur sa méthode heuristique, dont il s'était efforcé d'éliminer tout [...]

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Pour citer l’article

René TATON, « CALCUL INFINITÉSIMAL - Histoire », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 30 novembre 2022. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/calcul-infinitesimal-histoire/