QUADRIQUES

Extensions diverses

Une quadrique est un ensemble de points satisfaisant à une égalité de la forme suivante où l'un au moins des six premiers coefficients n'est pas nul :

Certaines complications dans la théorie de ces surfaces conduisirent les mathématiciens du xix^e siècle à étendre, dans deux directions différentes, la notion de quadrique et des autres surfaces algébriques. Non seulement ils firent un usage systématique des coordonnées complexes, enrichissant ainsi considérablement le modèle mathématique issu des corps de l'espace matériel, mais ils élargirent le concept de point en considérant des « éléments à l'infini » par l'introduction d'une quatrième coordonnée t, nulle pour les nouveaux points.

Pour ces géomètres, une quadrique était donc finalement déterminée par une équation de la forme :

Les « points » de ces quadriques sont, en réalité, non des points d'un espace classique (dit affine, de dimension trois sur le corps des nombres réels), mais des droites d'un espace vectoriel de dimension quatre sur le corps des nombres complexes. L'ensemble de ces droites, c'est-à-dire des sous-espaces vectoriels de dimension 1, est appelé le projectifié complexifié de l'espace usuel.

Cette extension donna une grande unité aux théorèmes : ainsi, une droite arbitraire coupe toujours une quadrique en un point au moins. Dans ce cadre, une théorie fort élégante de la polarité, directement généralisée à partir de considérations analogues sur les coniques, conduit à un grand nombre de propriétés (sur les plans tangents, par exemple), pour lesquelles on n'est plus tenu de distinguer un grand nombre de cas.

Quadriques et formes quadratiques

Ce passage d'un espace affine à un espace projectif – au prix d'une augmentation de la dimension – permit surtout de placer la théorie des quadriques dans son véritable cadre : celui des formes quadratiques. Conformément[...]