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L'apport du XVIIIe siècle

Les deux écoles

La querelle qui opposa Leibniz et Newton contribua à séparer les mathématiciens du xviiie siècle en deux camps : les Britanniques, disciples de Newton, qui s'efforcèrent de diffuser et de perfectionner le calcul des fluxions, et les continentaux, fervents admirateurs de Leibniz, qui réussirent à développer considérablement le nouveau calcul suivant les principes et les notations mis au point par le célèbre philosophe et ses premiers disciples. Cette séparation n'est certes pas absolue : certains mathématiciens anglais connaissent le symbolisme leibnizien, et plusieurs traités de théorie de fluxions sont réédités sur le continent. Cependant, son existence même gêne considérablement la coopération internationale et stérilise partiellement la production britannique à partir du milieu du xviiie siècle. À tel point que l'introduction du symbolisme leibnizien en Angleterre, vers 1820, apparaîtra comme une véritable révolution et rendra une vitalité nouvelle à l'école anglaise. À l'actif de cette école, il faut cependant citer, dans la première moitié du xviiie siècle, les noms de plusieurs mathématiciens éminents, rendus célèbres par d'importants théorèmes ou formules qui leur sont dus ; Roger Cotes, Brook Taylor, James Stirling et Colin Maclaurin ont activement contribué au développement de la théorie des séries et à l'essor de plusieurs théories nouvelles de calcul intégral. De plus, soumis aux critiques de certains philosophes, comme Berkeley, ils ont dû mettre en œuvre une plus grande logique et donner à leurs principes une présentation plus rigoureuse.

Toutefois, c'est incontestablement l'école continentale qui prit la tête du progrès dans le domaine infinitésimal, au cours du siècle. L'avance prise par l'école leibnizienne, la supériorité de son symbolisme expliquent ce fait, tout autant que l'intervention d'un grand nombre de mathématiciens de valeur et la féconde rivalité qui les conduisit à participer au progrès de l'ensemble des branches de l'analyse. Jean et Daniel Bernoulli, Euler, Clairaut, d'Alembert, Lagrange, Laplace et Legendre sont les principaux artisans de cette extension et de ce développement du champ du calcul infinitésimal. Sans vouloir ici analyser de près cette œuvre, du moins est-il utile d'en signaler les thèmes essentiels.

Équations différentielles

On sait que plusieurs savants de la première moitié du xviie siècle avaient rencontré certains problèmes relatifs à des équations différentielles, problèmes auxquels ils n'avaient su donner qu'une présentation et qu'une solution imparfaites. Dès la mise au point de leurs méthodes de calcul infinitésimal, Newton et Leibniz réussirent à résoudre les formes d'équations différentielles les plus simples et leurs disciples en étudièrent de nouveaux types. Aussi peut-on considérer que l'étude classique des équations différentielles était déjà assez avancée à la fin du xviie siècle, et que bon nombre de méthodes élémentaires de résolution étaient déjà connues à ce moment, sans toutefois que l'attention soit portée aux conditions d'existence des solutions. Au cours du xviiie siècle, ces méthodes de résolution furent étendues et rendues plus rigoureuses, tandis qu'étaient abordés de nombreux types d'équations et que l'existence de solutions singulières faisait l'objet d'importantes recherches. Parallèlement, divers mathématiciens s'intéressaient aux équations aux différences totales, tandis que le calcul aux différences finies était considérablement développé.

Équations aux dérivées partielles

En 1747, à l'occasion d'une étude sur le problème des vents, d'Alembert introduisit et étudia des équations d'un type nouveau, les équations aux dérivées partielles, faisant intervenir simultanément les dérivées partielles d'une même fonction par rapport à différentes variables. Le fait que la plupart des phénomènes physiques dépendent de plusieurs variables révélait l'importance de ce nouveau type d'équations pour l'étude des problèmes posés par les sciences physiques. Le vaste domaine ainsi ouvert aux mathématiciens fut activement exploré, tandis qu'un débat particulièrement animé opposait d'Alembert à Euler et à Daniel Bernoulli sur la nature des fonctions arbitraires intervenant dans les solutions de ces équations.

La notion de fonction

Ce [...]

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René TATON, « CALCUL INFINITÉSIMAL - Histoire », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 08 août 2022. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/calcul-infinitesimal-histoire/