VARIATIONS CALCUL DES

Carte mentale

Élargissez votre recherche dans Universalis

Théorie de Morse

Dans son aspect classique, la théorie de Morse ne fait pas partie du calcul des variations. Elle concerne en fait l'étude des fonctions différentiables sur les variétés et permet, en particulier, de donner des décompositions des variétés jouant en topologie différentielle le rôle que jouent les décompositions simpliciales en topologie combinatoire (cf. topologie - Topologie algébrique, chap. 2). C'est en utilisant cette technique que S. Smale démontra, en 1962, la conjecture de Poincaré en dimensions supérieures à 5.

Si f est une fonction différentiable à valeurs réelles sur une variété M, on dit qu'un point z de M est un point critique de f s'il annule sa différentielle df, ce qui s'exprime, dans un système de coordonnées locales x1, ..., xn tel que xi(z) = 0, par les conditions :

Ce point critique est non dégénéré si le hessien H() de f en z, c'est-à-dire la forme quadratique définie par la matrice :

est de rang maximum. L'index de z est alors le nombre de valeurs propres négatives du hessien.

Le lemme de Morse assure que, si z est un point critique non dégénéré d'index p, il existe un système de coordonnées locales y1, ..., yn avec yi(z) = 0 tel que l'on ait :

ce qui montre en particulier que les points critiques non dégénérés sont isolés. On peut déduire de cette expression que, si a et b ne sont pas des valeurs critiques de f, et si l'intervalle ]a, b[ contient une seule valeur critique, correspondant à un seul point critique z, non dégénéré, on obtient la sous-variété Mb = -1 (]− ∞, b]) en recollant à la sous-variété Ma = -1 (]− ∞, a]) une « anse » D× Dn-p d'indice p, où p est l'index de z, au moyen d'une application différentiable de Sp-1 × Dn-p dans le bord de Ma. La variété Mb a donc le type d'homotopie de l'espace obtenu en recollant à Ma une cellule de dimension p. On en déduit par exemple que le q-ième nombre de Betti de M est inférieur au nombre de points critiques d'index q de f.

L'originalité de Morse fut alors de montrer, en 1934, que, sur une variété riemannienne M, on pouvait raisonner de f [...]


1  2  3  4  5
pour nos abonnés,
l’article se compose de 6 pages






Écrit par :

Classification


Autres références

«  VARIATIONS CALCUL DES  » est également traité dans :

BERNOULLI LES

  • Écrit par 
  • Universalis
  •  • 1 243 mots
  •  • 1 média

Dans le chapitre « Jacques Bernoulli »  : […] Poussé par son père, Jacques Bernoulli (1654-1705) étudie d'abord la théologie, mais il se rebelle vite contre elle et s'intéresse alors à la physique et aux mathématiques ; sa devise «  Invito sidera verso  » (« J'étudie les étoiles contre la volonté de mon père ») rappelle avec ironie ces dispositions contrariées. En 1687, il devint professeur à l'université de Bâle où il enseigna jusqu'à sa mo […] Lire la suite

CALCUL INFINITÉSIMAL - Histoire

  • Écrit par 
  • René TATON
  •  • 11 508 mots
  •  • 3 médias

Dans le chapitre « Calcul des variations »  : […] Reprenant et coordonnant, dès 1728, divers problèmes touchant aux extrémums d'intégrales, déjà étudiés par l'école de Leibniz, à la fin du xvii e  siècle, Euler sentit la nécessité d'introduire dans ce domaine des méthodes plus générales. Après avoir repris l'étude du célèbre problème des isopérimètres, il exposa, en 1744, la première méthode générale pour résoudre les problèmes d'extrémums, créa […] Lire la suite

ÉCONOMÉTRIE

  • Écrit par 
  • Jean-Pierre FLORENS
  •  • 7 369 mots
  •  • 2 médias

Dans le chapitre « La macroéconométrie et la dynamique des grandeurs économiques »  : […] Les données macroéconomiques ou financières sont généralement des séries chronologiques, c'est-à-dire des grandeurs observées à des périodes de temps différentes. L'objectif est d'analyser la dynamique des variables considérées, plus précisément, leur évolution, la propagation de la variation de l'une d'entre elles sur les autres, leurs causalités, leurs variations saisonnières. L'étude approfond […] Lire la suite

EULER LEONHARD (1707-1783)

  • Écrit par 
  • Christian HOUZEL, 
  • Jean ITARD
  •  • 2 813 mots

Dans le chapitre « Mécanique, physique, astronomie »  : […] Euler a publié de nombreux ouvrages relatifs à la technique. En 1736, paraît son traité de mécanique, Mechanica sive motus scientia analytice exposita , où, pour la première fois, la mécanique du point matériel est conçue et exposée comme une science rationnelle. En 1765, il donnera sa Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum , où il définit le centre d'inertie, les moments d'inertie […] Lire la suite

HILBERT DAVID (1862-1943)

  • Écrit par 
  • Rüdiger INHETVEEN, 
  • Jean-Michel KANTOR, 
  • Christian THIEL
  •  • 14 855 mots
  •  • 1 média

Dans le chapitre « Analyse mathématique »  : […] À la fin du xix e  siècle, deux problèmes, d'origine physique, étaient au cœur des préoccupations des analystes : le problème de Dirichlet (cf. équations intégrales , chap. 1, et théorie du potentiel ) et l'étude des oscillations d'un corps élastique (cf. analyse mathématique , chap. 6), en liaison avec le développement de la fonction oscillatoire en série de fonctions des oscillations propres (c […] Lire la suite

LAGRANGE JOSEPH LOUIS (1736-1813)

  • Écrit par 
  • Jean ITARD
  • , Universalis
  •  • 1 608 mots

Dans le chapitre « L'œuvre de Lagrange »  : […] Joseph Louis Lagrange appartenait à une famille turinoise originaire de France par les hommes. Les aptitudes scientifiques du jeune Lagrange se révélèrent très tôt et, bien que destiné au barreau, il se tourna à l'âge de dix-sept ans vers l'analyse mathématique. La lecture de l'ouvrage d' Euler sur les isopérimètres le conduisit, dès 1754, à des résultats fondamentaux sur le calcul des variations […] Lire la suite

MÉCANIQUE - Mécanique analytique

  • Écrit par 
  • Francis HALBWACHS, 
  • Jean-Marie SOURIAU
  •  • 3 807 mots
  •  • 1 média

Dans le chapitre « Formulation variationnelle et principe de Hamilton »  : […] Supposons maintenant, non seulement que les liaisons sont holonômes et parfaites, mais que les forces appliquées dérivent d'un potentiel u  ; par définition, u est une fonction de la position des points (et éventuellement de t ) qui donne par dérivation le travail virtuel des forces, changé de signe : En remarquant que : on voit que les forces généralisées ϕ k [cf. (5)] sont données par : Si l'o […] Lire la suite

MORSE HAROLD CALVIN MARSTON (1892-1977)

  • Écrit par 
  • Jean DIEUDONNÉ
  •  • 1 105 mots

Mathématicien américain, né à Waterville (Massachusetts), Marston Morse était parent de Samuel F. Morse, l'inventeur du télégraphe. Il fit ses études supérieures à Harvard, où il fut l'élève de G. D. Birkhoff. Après quelques années aux universités Cornell (Ithaca, New York) et Brown (Providence, Rhode Island.), il revint à Harvard où il enseigna à partir de 1926, jusqu'à la création de l'Institute […] Lire la suite

OPTIMISATION & CONTRÔLE

  • Écrit par 
  • Ivar EKELAND
  •  • 5 243 mots
  •  • 2 médias

Dans le chapitre « Calcul des variations »  : […] Les problèmes de calcul des variations consistent à trouver une courbe, une hypersurface, ou un autre objet géométrique, minimisant un certain critère, généralement exprimé par une intégrale. Il se situe à l'intersection des deux domaines précédents, et la plupart des méthodes classiques du calcul des variations se retrouvent maintenant dans celles que nous avons décrites. Ainsi, pour un problème […] Lire la suite

OSGOOD WILLIAM FOGG (1864-1943)

  • Écrit par 
  • Jeanne PEIFFER
  •  • 503 mots

Mathématicien américain, né à Boston et mort à Belmont (Massachusetts), William Fogg Osgood a joué un rôle important dans le développement de la recherche aux États-Unis. Osgood est entré au collège de Harvard en 1882 et, à l'exception de quelques années passées dans les universités allemandes, il y fera toute sa carrière. Au départ, il fut surtout influencé par les professeurs de physique théoriq […] Lire la suite

RADON JOHANN (1887-1956)

  • Écrit par 
  • Jeanne PEIFFER
  •  • 421 mots

Pensée abstraite et pouvoir d'adaptation fondé sur l'intuition géométrique, tel est le double talent mathématique de l'Autrichien Johann Radon, qui est aussi bien capable de créer une théorie générale ou de traiter un problème particulier. Né à Tetschen (Bohême), Johann Radon fit ses études à l'université de Vienne (1905-1910), puis fut nommé assistant à l'École polytechnique de Brno. Il passa la […] Lire la suite

UHLENBECK KAREN (1942- )

  • Écrit par 
  • Fabrice BETHUEL
  •  • 1 280 mots
  •  • 1 média

Karen Uhlenbeck, née Karen Keskulla le 24 août 1942 à Cleveland (Ohio), est une mathématicienne américaine . Après des études à l’université du Michigan puis au Courant Institute à New-York, elle soutient en 1968 une thèse de doctorat dirigée par Richard Palais à l’université Brandeis de Waltham (Massachusetts). Elle est nommée professeure à l’université de Chicago en 1983, puis devient en 1988 p […] Lire la suite

WEIERSTRASS KARL THEODOR WILHELM (1815-1897)

  • Écrit par 
  • Michel HERVÉ
  •  • 2 273 mots

Dans le chapitre « Calcul des variations »  : […] Le problème fondamental du calcul des variations consiste à chercher, parmi les fonctions y  =  f  ( x ) continûment dérivables sur un intervalle donné [ a ,  b ] et pour lesquelles les fonctions f  ( a ) et f  ( b ) sont des valeurs données, celles qui rendent maximum ou minimum l'intégrale :   où F est une fonction continue donnée de trois variables x , y et z . Pour que f réponde à la questi […] Lire la suite

Voir aussi

Pour citer l’article

Claude GODBILLON, « VARIATIONS CALCUL DES », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 04 juillet 2020. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/calcul-des-variations/