VARIATIONS CALCUL DES

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Présentation analytique d'un problème variationnel

À la lumière des exemples qui viennent d'être présentés, on peut donner la formulation suivante d'un problème variationnel simple de dimension 1 à extrémités fixes.

Soit D l'espace affine des fonctions f à valeurs réelles continûment dérivables sur l'intervalle [a, b] et vérifiant (a) = α et f (b) = β. L'espace vectoriel E associé à cet espace affine peut s'interpréter comme l'espace des fonctions ω continûment dérivables sur [a, b] et vérifiant ω(a) = ω(b) = 0.

On munit l'espace D des deux topologies C0 et C1 définies respectivement par les normes de la convergence uniforme :

La topologie C1 est plus fine que la topologie C0.

Soit F(xyy′) une fonction à valeurs réelles deux fois continûment différentiable sur l'espace [ab] × × R. On peut lui associer la fonctionnelle J sur D déterminée par :

On dit alors qu'une fonction f de D est une solution du problème variationnel correspondant à la fonction F si elle est un minimum de J sur D, c'est-à-dire si l'on a J() ≤ J(g) pour tout ∈ D. On dit également que f est un minimum relatif faible (resp. fort) de J s'il existe ε > 0 tel que l'on ait J() ≤ J(g) pour tout ∈ D vérifiant ∥f − g≤ ε (resp. ∥f − g∥ ≤ ε).

Naturellement un minimum au sens fort est également un minimum au sens faible. Mais cette distinction se trouve justifiée par le fait que la fonction J, qui est continue pour la topologie C1, ne l'est pas en général pour la topologie C0.

On peut maintenant, avec J. L. Lagrange, considérer un élément ω de E comme une « variation » de la fonction f de D en introduisant la fonction g = f + ω. La formule de Taylor permet alors d'écrire, à des termes d'ordres supérieurs près (pour la norme ∥.1), la variation J(g) − J() sous la forme :

On peut donc dire que la fonctionnelle :

est la dérivée de la fonction J au point f lorsqu'on munit l'espace D de la topologie C1. Avec Lagrange, on notera cette dérivée δJ[] et l'on dira qu'elle est la « variation première » de J en f.

On a ainsi démontré qu'une condition nécessaire pour que f soit un minimum relatif faible (et [...]


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Pour citer l’article

Claude GODBILLON, « VARIATIONS CALCUL DES », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 20 mai 2020. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/calcul-des-variations/