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VARIATIONS CALCUL DES

Équation d'Euler-Lagrange

Si l'on suppose que f est un minimum relatif faible de J deux fois continûment dérivable, on peut transformer l'expression de δJ[f ]en intégrant par partie le second terme. On obtient ainsi :

Ce qui conduit à l'équation donnée par Euler en 1744 :

Théorème 1. Une condition nécessaire pour qu'une fonction f deux fois continûment dérivable soit un minimum relatif faible de J est qu'elle vérifie l'équation :

Ce résultat est une conséquence immédiate du lemme suivant :

Lemme 1. Soit h une fonction continue sur[a, b]. Si l'on a :

  pour toute fonction ε continûment dérivable sur[a, b]et vérifiant ε(a) = ε(b) = 0, on a h = 0 sur[a, b].

Démonstration du lemme 1. Supposons que la fonction h soit, par exemple, positive en un point x0 de ]a, b[. On peut alors trouver un intervalle[c, d]contenant x0 sur lequel h est positive.

Si l'on désigne par ε la fonction égale à (x − c)2 (d − x)2 sur[c, d]et nulle en dehors de[c, d], on a dans ces conditions :

qui est en contradiction avec les hypothèses ; par conséquent h est nulle sur[a, b]. La démonstration est terminée.

L'équation d'Euler-Lagrange peut s'écrire :

c'est une équation différentielle du second ordre et sa solution dépend de deux constantes arbitraires, qui sont en général déterminées par les conditions limites en a et en b. Cette situation diffère donc du problème classique de Cauchy, qui consiste à déterminer une solution d'une équation différentielle du second ordre par sa valeur et celle de sa dérivée en un point.

Exemple 1. Lorsque la fonction F est indépendante de x, l'équation d'Euler-Lagrange admet l'intégrale première F − y′F′y′ = Cte.

On en déduit par exemple que, pour le problème de la surface minimale de révolution, ses solutions sont, dans les bons cas, les chaînettes :

Remarque 1. On a supposé ici que le minimum f était deux fois continûment dérivable. En fait, une étude plus fine, due à P. Du Bois-Reymond, permet de montrer que, si f est une fois continûment dérivable, la fonction F′y′(x, f (x), f ′(x)) est dérivable et que sa dérivée est égale à F′y(x, f (x), f ′(x)) ; autrement dit, f satisfait encore l'équation d'Euler-Lagrange.

On peut de plus vérifier qu'elle est alors deux fois dérivable en tout point où l'on a F″y′y′(x, f (x), f ′(x)) ≠ 0. Ainsi l'hypothèse de départ n'était pas trop restrictive.

Remarque 2. Certains problèmes variationnels, par exemple celui qui correspond à la fonction F = y′2(1 − y′)2, n'ont pas de solutions dans l'espace D. On est ainsi amené à élargir cet espace en l'espace D′ des fonctions f continues et continûment dérivables par morceaux sur[a, b], c'est-à-dire que f est continue sur[a, b]et qu'il existe une suite a0 = a < a1 < ... < an = b telle que f soit continûment dérivable sur chacun des intervalles[ai, ai+1].

On peut encore montrer qu'un minimum relatif f de J dans D′ satisfait l'équation d'Euler-Lagrange sur chacun des intervalles où elle est continûment dérivable (c'est une conséquence immédiate de la formule de Chasles pour les intégrales) et vérifie de plus les conditions suivantes, dues à K. Weierstrass et à G. Erdmann : en chaque point de[a, b]les limites à gauche et à droite de :

ainsi que celles de :
sont égales.

En utilisant le théorème de Rolle, on déduit de cette première condition qu'en un point de discontinuité c de f ′ la fonction F″y′y′(c, f (c), y′) à un zéro. Par conséquent, si F″y′y′(x, y, y′) est sans zéro, tout minimum de J dans D′ est deux fois continûment dérivable.

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Pour citer cet article

Claude GODBILLON. VARIATIONS CALCUL DES [en ligne]. In Encyclopædia Universalis. Disponible sur : (consulté le )

Média

Condition de Weierstrass - crédits : Encyclopædia Universalis France

Condition de Weierstrass

Encyclopædia Universalis France

Autres références

  • BERNOULLI LES

    • Écrit par Universalis
    • 1 238 mots
    • 1 média
    Jean Bernoulli - crédits : AKG-images
    ...la fonction exponentielle et ses rapports avec le logarithme. On lui doit également la résolution de l'équation différentielle dite de Bernoulli. – Calculs des variations.Avec l'étude et la résolution du problème de l'isopérimètre, qui est la recherche parmi toutes les courbes de longueur donnée...

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    Dérivées et intégrales - crédits : Planeta Actimedia S.A.© Encyclopædia Universalis France pour la version française.
    ...étudiés par l'école de Leibniz, à la fin du xviie siècle, Euler sentit la nécessité d'introduire dans ce domaine des méthodes plus générales. Après avoir repris l'étude du célèbre problème des isopérimètres, il exposa, en 1744, la première méthode générale pour résoudre les problèmes d'extrémums,...

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  • EULER LEONHARD (1707-1783)

    • Écrit par Christian HOUZEL, Jean ITARD
    • 2 759 mots
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    Son traité de 1744, Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive proprietate gaudens, fonde le calcul des variations, dans la lignée des travaux de Jacques et Jean Bernoulli (l'ouvrage aura sur Lagrange une influence considérable). Un important appendice sur la détermination, par ce type...
  • Afficher les 13 références

Voir aussi

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