VARIATIONS CALCUL DES

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Conditions de Legendre et Jacobi

Soit f un minimum relatif faible de J dans D. Utilisant à nouveau la formule de Taylor, on peut écrire, toujours à des termes d'ordres supérieurs près, la variation de J correspondant à une variation ω de f sous la forme :

où l'on a posé :

La fonctionnelle :

est une forme quadratique sur l'espace E que l'on peut interpréter comme la dérivée seconde δ2J[] de J en f : on dira que δ2J[] est la « variation seconde » de J en f. On a ainsi le résultat suivant : Une condition nécessaire pour que f soit un minimum relatif faible de J est que δ2J[] soit une forme quadratique positive, c'est-à-dire telle que δ2J[] (ω) ≥ 0 pour tout ω ∈ E.

On va, suivant Legendre, transformer l'expression de cette variation seconde en remarquant que, si w est une fonction continûment dérivable sur [ab], on a :

pour toute fonction ω ∈ E. On peut donc écrire :
soit encore :
si le discriminant (Q + w)2 − R(P + w′) est nul. Cette égalité nous conduit à une seconde condition, énoncée par Legendre en 1786 :

Théorème 2. Une condition nécessaire pour que f soit un minimum relatif faible de J est que l'on ait sur [ab] l'inégalité :

Démonstration. Supposons R négative en un point x0 de ]ab[. On peut trouver un intervalle [cd] contenant x0 sur lequel R reste négative. On peut supposer qu'il existe une solution de l'équation différentielle (Q + w)2 − R(P + w′) = 0 sur cet intervalle.

On a alors l'inégalité δ2J[](ω) < 0 pour la fonction ω qui intervient dans la preuve du lemme 1, ce qui est absurde.

L'expression précédente de δ2J[] montre que, si l'équation :

a une solution sur [ab], la condition R > 0 entraîne δ2J[](ω) > 0 pour toute variation ω non nulle. C'est en partant de cette remarque que Weierstrass montra, en 1879, que les conditions suivantes sont suffisantes pour qu'une fonction f de D soit un minimum relatif faible de J :

a) La fonction f est une solution de l'équation d'Euler-Lagrange ;

b) On a F″yy(x(x), ′(x)) > 0 sur [ab] ;

c) Il existe une solution sur [ab] de l'équation (Q + w)2 − R(P + w′) = 0.

Jacobi introduisit en 1837 le changement de variable w = − Q − Ru′/u qui lui permit de transformer l'équation différentielle (Q + w)2 − R(P + w′) = 0 en l'équation différentielle linéaire du second ordre, dite équation de Jacobi :

et l'existence d'une solution de la première sur [ab] est équivalente à l'existence d'une solution sans zéro sur [ab] de la seconde.

Soit alors u(x) une solution non nulle de l'équation de Jacobi telle que u(a) = 0. On dira qu'un point ≥ a est un point conjugué de a si l'on a u(c) = 0. Le théorème de Sturm permet de montrer que, si l'intervalle [ab] ne contient aucun point conjugué de a, il existe une solution de l'équation de Jacobi sans zéro sur cet intervalle, donc une solution du discriminant sur [ab] (cf. supra).

En 1877, Weierstrass donna la condition suivante, appelée condition de Jacobi :

Théorème 3. Une condition nécessaire pour qu'une fonction f de D vérifiant F″yy(x(x), ′(x)) > 0 sur [ab] soit un minimum relatif faible de J est que l'intervalle [ab] ne contienne aucun point conjugué du point a.

On remarquera que, contrairement aux théorèmes 1 et 2 qui expriment des conditions locales, la condition de Jacobi est globale.

Remarque 3. Dans son important mémoire de 1837, Jacobi mit aussi en évidence la propriété importante suivante de l'équation qui porte son nom :

Soit (x, λ) une famille différentiable à un paramètre de solutions de l'équation d'Euler-Lagrange telle que (x, 0) = (x). Alors la fonction u(x) = λ(x, 0) est une solution de l'équation de Jacobi ; autrement dit, l'équation de Jacobi correspondant à la fonction f est l'« équation aux variations » de l'équation d'Euler-Lagrange pour sa solution f.

Remarque 4. Les conditions données dans les théorèmes 1, 2 et 3 concernent un minimum relatif faible. En 1879, Weierstrass donna la condition nécessaire suivante pour un minimum relatif fort, obtenue en exprimant que la valeur de J sur l'arc AB doit être inférieure à la somme des valeurs de J sur les arcs AC et CB. L'expression :

Condition de Weierstrass

Dessin : Condition de Weierstrass

Condition de Weierstrass pour un minimum relatif fort 

Crédits : Encyclopædia Universalis France

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doit être positive pour tout y′ et tout x dans [ab] ; cette condition est en particulier vérifiée si l'on a :

pour tout y′ et tout x dans [ab].

Il montra également que les conditions suivantes sont suffisantes pour qu'une fonction f de D soit un minimum relatif fort de J :

a) La fonction f est solution de l'équation d'Euler-Lagrange ;

b) On a l'inégalité F″yy(xyy′) > 0 pour tout y′ et pour tout couple (xy) dans un voisinage du graphe de f ;

c) L'intervalle [ab] ne contient aucun point conjugué du point a.

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Pour citer l’article

Claude GODBILLON, « VARIATIONS CALCUL DES », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 02 décembre 2021. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/calcul-des-variations/