ORTHOGONAUX POLYNÔMES

Soit E un ensemble muni d'une mesure positive μ et k une fonction de carré intégrable sur E × E. Pour toute fonction f de carré intégrable sur E et pour presque tout élément x de E, la fonction y ↦ k (x, y) f (y) est intégrable sur E et la fonction g, définie presque partout par la formule :

est de carré intégrable sur E. L'application U_k, dite associée au noyau k, qui à tout élément f de L²(E) associe g, est un endomorphisme de L²(E). Lorsqu'on munit L²(E) de la norme de la convergence en moyenne quadratique, cet endomorphisme est continu et sa norme est inférieure à ∥k∥₂ ; cet endomorphisme est même un endomorphisme compact. La résolution de l'équation intégrale de Fredholm :où h est un élément donné de L²(E), conduit à chercher les valeurs propres et les vecteurs propres de l'endomorphisme U_k. Lorsque le noyau k est hermitien, c'est-à-dire lorsque, pour tout couple (x, y) d'éléments de E, k(y, x) = k(x, y), alors l'endomorphisme compact U_k est hermitien. La théorie spectrale montre que l'ensemble sp(U_k) des valeurs propres de U_k est une partie bornée dénombrable de R, dont tous les points, sauf peut-être 0, sont isolés. De plus, les sous-espaces propres E_λ sont orthogonaux deux à deux et le sous-espace vectoriel :est dense dans L²(E). Enfin, E est de dimension finie si λ ≠ 0. Il existe donc une suite (λ_n) de nombres réels convergeant vers 0 et une base hilbertienne (ϕ