ORTHOGONAUX POLYNÔMES

C'est à travers l'étude de certains problèmes d'analyse fonctionnelle (équations intégrales, séries de Fourier, problème de Sturm-Liouville et, plus généralement, problèmes aux limites dans les équations aux dérivées partielles) qu'est apparue la notion de système orthogonal de fonctions. Ces problèmes amènent à considérer des espaces hermitiens constitués de fonctions et à déterminer les valeurs propres et les fonctions propres (cf. théorie spectrale) de certains endomorphismes de ces espaces. Dans le cas d'un opérateur hermitien, les sous-espaces propres sont orthogonaux deux à deux. Le problème essentiel consiste alors à chercher des bases hilbertiennes constituées de fonctions propres.

Équation intégrale de Fredholm

Soit E un ensemble muni d'une mesure positive μ et k une fonction de carré intégrable sur E × E. Pour toute fonction f de carré intégrable sur E et pour presque tout élément x de E, la fonction y ↦ k (x, y) f (y) est intégrable sur E et la fonction g, définie presque partout par la formule :

est de carré intégrable sur E. L'application U_k, dite associée au noyau k, qui à tout élément f de L²(E) associe g, est un endomorphisme de L²(E). Lorsqu'on munit L²(E) de la norme de la convergence en moyenne quadratique, cet endomorphisme est continu et sa norme est inférieure à ∥k∥₂ ; cet endomorphisme est même un endomorphisme compact. La résolution de l'équation intégrale de Fredholm :où h est un élément donné de L²(E), conduit à chercher les valeurs propres et les vecteurs propres de l'endomorphisme U_k. Lorsque le noyau k est hermitien, c'est-à-dire lorsque, pour tout couple (x, y) d'éléments de E, k(y, x) = k(x, y), alors l'endomorphisme compact U_k est hermitien. La théorie spectrale montre que l'ensemble sp(U_k) des valeurs propres de U_k est une partie bornée dénombrable de R, dont tous les points, sauf peut-être 0, sont isolés. De plus, les sous-espaces propres E_λ sont orthogonaux deux à deux et le sous-espace vectoriel :est dense dans L²(E). Enfin, E est de dimension finie si λ ≠ 0. Il existe donc une suite (λ_n) de nombres réels convergeant vers 0 et une base hilbertienne (ϕ_n) de L²(E) telles que, pour tout entier n, U_k (ϕ_n) = λ_n ϕ_n. Une telle base (ϕ_n) s'appelle système orthogonal associé au noyau k. Enfin, la suite (λ_n) est de carré sommable :et le noyau k peut se développer de la manière suivante :

Pour résoudre l'équation intégrale (1), on décompose le second membre h dans la base hilbertienne précédente :

Pour que :

soit solution de (1), il faut et il suffit que, pour tout entier naturel n,

En particulier, lorsque λ n'appartient pas à sp(U_k) ∪ {0}, l'équation (1) admet une solution et une seule. Lorsque λ ∈ sp(U_k) ∪ {0}, pour que (1) admette une solution, il faut et il suffit que h soit orthogonale au sous-espace vectoriel E_λ. Enfin, lorsque λ = 0, pour que (1) admette une solution, il faut et il suffit que h soit orthogonale au noyau de U_k et que :

où P désigne l'ensemble des entiers n tels que λ_n ≠ 0.

On notera que les séries précédentes convergent en moyenne quadratique. E. Schmidt (1907) et T. Mercer (1909) ont trouvé des conditions assez larges sous lesquelles la convergence est uniforme.

La théorie spectrale d'opérateurs hermitiens plus généraux conduit encore à des théories analogues. Signalons le cas des séries de Fourier (cf. analyse harmonique, espace de hilbert) et celui des fonctions sphériques (cf. groupes - Groupes de Lie). Nous allons nous borner ici à un cas particulièrement simple.

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