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DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) Sources et applications

On se propose de décrire très sommairement quelques types classiques d'équations aux dérivées partielles issues principalement de la physique et de préciser leurs interventions dans des domaines variés des mathématiques.

Alors que les solutions des équations différentielles ordinaires dépendent d'une ou de plusieurs constantes arbitraires, celles des équations et systèmes d'équations aux dérivées partielles dépendent de fonctions arbitraires ; il y a donc des familles beaucoup plus riches de solutions. Ce fait se voit sur l'exemple particulièrement simple d'une équation linéaire du premier ordre :

on lui associe le système différentiel des caractéristiques :
dont les trajectoires sont les courbes caractéristiques de l'équation. L'équation aux dérivées partielles équivaut alors à une équation différentielle ordinaire sur chaque courbe caractéristique. Posant :
cette équation différentielle s'écrit :
il faut la compléter par une donnée initiale sur chaque caractéristique, ce qui introduit une fonction arbitraire. On remarquera sur cet exemple qu'une solution d'une équation sans second membre (f = 0) ne peut s'annuler en un point sans s'annuler sur toute la courbe caractéristique qui passe par ce point.

La façon la plus courante de déterminer une solution, en particulier dans les problèmes d'origine physique, est de fixer les valeurs de la fonction et d'une ou plusieurs de ses dérivées sur des hypersurfaces. On dit que le problème est bien posé lorsque cela détermine une solution et une seule. Pour traduire une situation physique, un problème doit non seulement être bien posé au sens précédent, mais posséder en plus une propriété de stabilité : la solution doit dépendre continûment des données (en un sens à préciser dans chaque problème particulier). Cette condition est automatiquement vérifiée dans les problèmes linéaires (c'est une conséquence du théorème du graphe fermé).

Il est remarquable, ce qui sera évident ci-dessous, que les premiers travaux systématiques ont porté sur des équations du second ordre, qui se sont présentées en mécanique, puis dans la théorie de la chaleur. L'étude des équations du premier ordre, la plus simple du point de vue mathématique, n'est venue que plus tard.

L'équation des ondes et le type hyperbolique

L'équation des ondes (équation de d'Alembert) :

régit le comportement de la densité dans une onde sonore, c'est-à-dire une perturbation de faible amplitude d'un gaz non visqueux au repos. Dans une série de phénomènes physiques représentés par des grandeurs vectorielles, chaque composante des vecteurs concernés obéit à cette même équation : ondes transversale et longitudinale dans un solide élastique, ondes électromagnétiques, etc. Il faut y ajouter les phénomènes analogues dépendant seulement d'une ou deux variables d'espace ; parmi eux, les vibrations transversales d'un fil élastique donnent lieu au cas particulier de l'équation des cordes vibrantes :
la plus ancienne à avoir été explicitement étudiée (dans la décennie de 1740 par d'Alembert, Daniel Bernoulli et Euler).

La possibilité d'écrire toutes les solutions de l'équation des cordes vibrantes sous la forme :

permet d'en voir facilement certaines propriétés :

a) Le problème de Cauchy est bien posé, tant dans le futur (t > t0) que dans le passé (t < t0). Ce problème s'énonce ici : « Trouver u vérifiant l'équation (2) et de plus les conditions :

u0 et u1 sont des fonctions données. »

Équation des formes vibrantes

Équation des formes vibrantes

b) Les solutions se propagent à la vitesse c. Cette affirmation délibérément vague peut se préciser de plusieurs façons. Par exemple en revenant au problème de Cauchy, avec t0 nul pour simplifier, si u0 et u1 s'annulent en dehors d'un intervalle[[...]

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. In Encyclopædia Universalis []. Disponible sur : (consulté le )

Média

Équation des formes vibrantes

Équation des formes vibrantes

Autres références

  • ANALYSE MATHÉMATIQUE

    • Écrit par Jean DIEUDONNÉ
    • 8 527 mots
    ...problèmes de mécanique, d'astronomie ou de physique. Au cours du xviiie siècle, les développements des applications des mathématiques à la physique avaient introduit des équations auxdérivées partielles, qui apparaissent aussi par ailleurs dans les problèmes de la naissante théorie des surfaces.
  • CAFFARELLI LUIS (1948- )

    • Écrit par Bernard PIRE
    • 1 254 mots
    • 1 média

    Le mathématicien argentino-américain Luis Caffarelli a reçu le prix Abel – l'équivalent du prix Nobel pour les mathématiques – en 2023, pour « ses contributions essentielles à la théorie des régularités des équations aux dérivées partielles non linéaires ».

  • CALCUL INFINITÉSIMAL - Histoire

    • Écrit par René TATON
    • 11 465 mots
    • 3 médias
    En 1747, à l'occasion d'une étude sur le problème des vents, d'Alembert introduisit et étudia des équations d'un type nouveau, les équations aux dérivées partielles, faisant intervenir simultanément les dérivées partielles d'une même fonction par rapport à différentes variables. Le fait que la plupart...
  • CAUCHY AUGUSTIN-LOUIS (1789-1857)

    • Écrit par Jean DIEUDONNÉ
    • 1 396 mots
    ...pures et appliquées. Si son œuvre en astronomie et en optique est secondaire, il est un des fondateurs de la théorie mathématique de l'élasticité. En analyse, il introduit la notion fondamentale de caractéristique dans la théorie des équations aux dérivées partielles du premier ordre, et il avait...
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