DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) Sources et applications

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On se propose de décrire très sommairement quelques types classiques d'équations aux dérivées partielles issues principalement de la physique et de préciser leurs interventions dans des domaines variés des mathématiques.

Alors que les solutions des équations différentielles ordinaires dépendent d'une ou de plusieurs constantes arbitraires, celles des équations et systèmes d'équations aux dérivées partielles dépendent de fonctions arbitraires ; il y a donc des familles beaucoup plus riches de solutions. Ce fait se voit sur l'exemple particulièrement simple d'une équation linéaire du premier ordre :

on lui associe le système différentiel des caractéristiques :
dont les trajectoires sont les courbes caractéristiques de l'équation. L'équation aux dérivées partielles équivaut alors à une équation différentielle ordinaire sur chaque courbe caractéristique. Posant :
cette équation différentielle s'écrit :
il faut la compléter par une donnée initiale sur chaque caractéristique, ce qui introduit une fonction arbitraire. On remarquera sur cet exemple qu'une solution d'une équation sans second membre (f = 0) ne peut s'annuler en un point sans s'annuler sur toute la courbe caractéristique qui passe par ce point.

La façon la plus courante de déterminer une solution, en particulier dans les problèmes d'origine physique, est de fixer les valeurs de la fonction et d'une ou plusieurs de ses dérivées sur des hypersurfaces. On dit que le problème est bien posé lorsque cela détermine une solution et une seule. Pour traduire une situation physique, un problème doit non seulement être bien posé au sens précédent, mais posséder en plus une propriété de stabilité : la solution doit dépendre continûment des données (en un sens à préciser dans chaque problème particulier). Cette condition est automatiquement vérifiée dans les problèmes linéaires (c'est une conséquence du théorème du graphe fermé).

Il est remarquable, ce qui sera évident ci-dessous, que les premiers travaux systématiques ont porté sur des équations du second ordre, qui se s [...]

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Pour citer l’article

Martin ZERNER, « DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) - Sources et applications », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 03 décembre 2020. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/derivees-partielles-equations-aux-sources-et-applications/