MÉDAILLES FIELDS 2018

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Les médailles Fields récompensent tous les quatre ans des mathématiciens de moins de quarante ans, lors du congrès de l’Union mathématique internationale. En 2018, le congrès réuni le 1er août à Rio de Janeiro a attribué cette récompense à l’Irano-Britannique Caucher Birkar, à l’Italien Alessio Figalli, à l’Allemand Peter Scholze et à l’Indo-Australien Akshay Venkatesh. Cette liste de lauréats – qui ne comprend aucun Américain, Français ou Russe, longtemps habitués à cette reconnaissance – confirme la tendance des prix précédents à l’internationalisation. Plusieurs médaillés ont d’ailleurs souligné l’importance du pluriculturalisme dans leur approche des mathématiques. On retiendra que Caucher Birkar a été formé à l’université de Téhéran tout comme Maryam Mirzakhani, première femme médaillée, en 2014, et précocement décédée en 2017. Ce palmarès traduit par ailleurs un resserrement de la diversité des recherches récompensées, organisées surtout autour de différents aspects de la géométrie algébrique.

Les lauréats de la médaille Fields 2018

Photographie : Les lauréats de la médaille Fields 2018

Ce cliché rassemble les quatre lauréats de la médaille Fields 2018 lors de la cérémonie d’ouverture du Congrès international des mathématiciens, le 1er août 2018, à Rio de Janeiro. De gauche à droite : Caucher Birkar, Alessio Figalli, Peter Scholze et Akshay Venkatesh.  

Crédits : Pablo Costa/ ICM 2018/ AFP

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Caucher Birkar, dont le nom kurde original est Fereydoun Derakhshani, est né en juillet 1978 dans une famille de fermiers à Marivan en Iran, village kurde à la frontière avec l’Irak. Enfant, il fait l’expérience de la guerre Irak-Iran. À l’école, il manifeste très vite son intérêt pour les équations mathématiques. Ses capacités tôt reconnues l’amènent à l’université de Téhéran, où il obtient sa licence. À l’occasion d’un congrès au Royaume-Uni, il demande l’asile politique, l’obtient et poursuit son doctorat à l’université de Nottingham, qu’il décroche en 2004. C’est à ce moment qu’il change son nom en celui de Caucher Birkar (signifiant « mathématicien migrant » en kurde). Professeur à l’université de Cambridge, le mathématicien reconnaît avoir été influencé par la figure d’Alexander Grothendieck, médaillé Fields en 1966 et lui aussi réfugié, ayant fui l’Allemagne nazie, et par le Russe Vyacheslav Shokurov qui l’a initié à un domaine particulier de la géométrie algébrique, la géométrie birationnelle. C’est dans ce domaine que Caucher Birkar a réalisé ces travaux pour lesquels il a reçu la médaille Fields et qui portent sur la classification des variétés de Fano. Une variété algébrique est l’ensemble des solutions communes à un groupe d’équations. Il en existe une infinité et chacune possède sa représentation géométrique. Les variétés de Fano sont des espaces ayant en commun le fait de posséder une courbure positive. Le travail de Caucher Birkar a consisté à classer les variétés de Fano en trois familles de base, ordonnées, à partir desquelles on peut reconstruire toutes ces variétés. Ce travail s’intègre dans un effort international de classification des formes géométriques, qui trouve en particulier son application en physique théorique (théorie des cordes).

Alessio Figalli est italien, né à Rome le 2 avril 1984. Il étudie à l’université de Pise et y reçoit son master. Il poursuit ses études à l’École normale supérieure de cette même ville et à celle de Lyon et obtient son doctorat en 2007 sous la direction conjointe de Luigi Ambrosio (Pise ; prix Fermat 2003) et de Cédric Villani (ENS de Lyon ; médaille Fields 2010). Après sa thèse, il est successivement attaché de recherche du CNRS à l’université de Nice, professeur à l’École polytechnique, puis à l’université d’Austin (Texas) et à l’École polytechnique fédérale de Zurich. Figalli a travaillé dans plusieurs domaines des mathématiques, en particulier sur le « transport optimal », formalisé à l’origine par Gaspard Monge pour déterminer pratiquement le moyen de transport optimal dans une mine d’un point à un autre, et dont la formalisation mathématique (meilleur appariement entre une situation initiale et une situation finale) a été développée par Ampère : les équations de Monge-Ampère. Il s’agit d’équations différentielles partielles non linéaires de second ordre, que l’on retrouve par exemple dans la géométrie de Riemann. Figalli a étendu les applications du transport optimal au lien entre le volume d’une forme géométrique et la surface de formes quelconques (inégalités isopérimétriques). Ces résultats ont été ensuite étendus aux polyèdres. Il s’intéresse également à des objets mathématiques très présents en physique, les matrices aléatoires. Il semble juste de dire que la double tutelle de thèse d’Alessio Figalli illustre la collaboration entre deux courants de tradition mathématique, celui de l’école de Pise avec Luigi Ambrosio, spécialiste du transport optimal, et celui de l’école française avec Pierre-Louis Lions (médaillé Fields 1994 pour ses travaux sur les équations partielles non linéaires) et son élève Cédric Villani (analyse mathématique et transport optimal). La France n’est donc en quelque sorte pas totalement absente du palmarès 2018.

Peter Scholze est né le 11 décembre 1987 à Dresde. Il étudie à Berlin, au Heinrich-Hertz Gymnasium, un lycée spécialisé dans l’enseignement mathématique et physique de très haut niveau, comme il en existait en République démocratique allemande et en URSS. Il poursuit ses études à l’université de Bonn où il obtient son doctorat en 2012 et au sein de laquelle il est presque immédiatement nommé professeur. L’opinion unanime des mathématiciens est qu’il renouvelle profondément la géométrie algébrique. Scholze manifeste un intérêt constant pour des problèmes mathématiques qui s’enracinent dans des équations simples impliquant les nombres entiers. Le but est de trouver une solution plus simple que les précédentes, universelle et englobante. Les espaces perfectoïdes de Scholze sont ainsi issus du développement du système p-adique dans lequel la proximité entre deux nombres ne provient pas de la valeur, mais du fait que la valeur est divisible de nombreuses fois par p ou des puissances de p. Ces nombres p-adiques peuvent être développés un grand nombre de fois et, selon une analogie fréquemment avancée, ces développements vont constituer une tour de systèmes de nombres dans laquelle chacun entoure celui du dessous p fois et au « sommet » de laquelle se trouve l’espace qui les inclut tous, que Scholze appelle « espace perfectoïde ». C’est cette notion que Scholze a découverte au cours de son travail de doctorat et qu’il ne cesse de développer en l’appliquant à d’autres structures mathématiques comme le programme de Langlands, renouvelant ainsi des pans entiers des mathématiques, comme la topologie algébrique. Lors de la cérémonie de remise des médailles Fields, Scholze résume son travail dans les termes suivants : « J’ai obtenu de nouveaux résultats sur la géométrie de […] variétés abéliennes en montrant qu’elles atteignent la structure d’un espace perfectoïde [...]

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Pour citer l’article

« MÉDAILLES FIELDS 2018 », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 02 décembre 2021. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/medailles-fields-2018/