STABILITÉ

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Pour un ensemble mécanique (D), dont la situation par rapport à un repère galiléen (g) est caractérisée par la donnée de n paramètres géométriques indépendants (q1, ..., qi, ..., qn), la connaissance des conditions initiales et des champs de forces à distance ainsi que l'intervention d'hypothèses sur les efforts de liaison (lorsque de tels efforts se manifestent) permettent d'établir des prévisions qi = fi() par intégration des équations régissant les mouvements possibles de (D).

Si l'on modifie un peu les conditions initiales, c'est-à-dire les valeurs : qi(0) et (dqi/dt)(0) = qi(0), ou si l'on modifie les champs de forces à distance, tout en conservant les mêmes hypothèses sur les efforts de liaison, on établit des prévisions :

La question est de savoir si tous les εi(t) restent petits dans le déroulement évolutif des phénomènes. S'il en est ainsi, on dira que le mouvement de (D), prévu et caractérisé par qi = fi(t), avec i = 1, ..., n, est stable. Il y a lieu de préciser les locutions : « modifier un peu » et « rester petit » qui ont une signification intuitive, ce qui ne saurait suffire à élaborer une théorie valable.

Le problème présente de l'intérêt, car les conditions initiales et les champs à distance sont connus et fournis à partir de mesures expérimentales, et une prédiction analytique stricte est donc impossible (en particulier, il y a lieu de distinguer entre les conditions initiales voulues et celles qui sont effectivement réalisées).

Souvent, les mouvements sont simples ou bien les variables choisies pour les décrire s'expriment simplement en fonction du temps. Les deux cas les plus fréquents sont les suivants :

– tous les qi sont prévus comme devant rester constants, c'est-à-dire indépendants du temps :

on dit alors que l'on prévoit un équilibre de (D) dans le repère (g), la question qui se pose étant celle de la stabilité de cet équilibre ;

– parmi les qi de l'ensemble configuratif (q), certains sont prévus comme devant rester constants (par exemple les p premiers pour fixer les idées), les autres le sont comme devant être des fonctions du premier degré par rapport au temps :

on dit alors que l'étude concernant (D) conduit à la prévision d'un état stationnaire de (D) dans le repère (g), et la question qui se pose est liée à la stabilité de cet état stationnaire.

Les définitions des termes doivent être précisées ; quelques exemples particuliers doivent être explicités a priori, et quelques théorèmes généraux énoncés et appliqués ; mais la question générale reste complexe : elle est la préoccupation d'un grand nombre de chercheurs mathématiciens, physiciens et techniciens. Son domaine d'applications est vaste et comprend, entre autres, l'astronomie classique, la balistique classique et récente, notamment les engins spéciaux, les lanceurs et les satellites (cf. missiles).

On peut toujours poser :

ou :
ces deux cas étant usuels dans le fonctionnement des appareillages industriels.

Dans des exemples plus difficiles, ce sont des fonctions assez compliquées des qi et des qi, à savoir :

qui vont garder, dans la prévision, des grandeurs constantes ωj(0). Ainsi en sera-t-il de certaines des composantes P, Q et R du taux de rotation galiléen d'un solide. Le problème est donc généralement très complexe et l'exposé suivant ne prétend qu'à une information initiatrice.

Exemple issu de la dynamique du solide

Un solide (S) est dit animé d'un mouvement à la Poinsot si l'un de ses points OS reste immobile dans un repère galiléen et si le moment en Os du torseur des efforts extérieurs agissant sur (S) est nul.

Lorsque le mouvement à la Poinsot d'un solide (S) se fait spontanément autour d'un axe immobile dans un repère galiléen, cet axe doit être un axe principal d'inertie de (S) au point fixé O = Os = Og, et il en résulte que le taux de rotation Ωsg est constant dans (S) et dans (g). Inversement, une rotation est un mouvement à la Poinsot si et seulement si c'est une rotation uniforme autour d'un axe principal d'inertie en O. Ainsi :

– dans le cas où A, B, C (moments d'inertie par rapport aux trois axes principaux en O) sont tous différents, on trouve les rotations uniformes autour de l'un des trois axes principaux Oxs, Oys, Ozs ;

– dans le cas où A = B ≠ C, on trouve les rotations uniformes autour de Ozs et les rotations uniformes autour d'un axe quelconque perpendiculaire en O à Ozs ;

– dans le cas où A = B = C, on trouve les rotations uniformes autou [...]

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Pour citer l’article

Michel CAZIN, « STABILITÉ », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 25 juin 2022. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/stabilite/