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STABILITÉ

Mouvement stationnaire

Soit encore un solide (S) à point fixé Os = Og = O, dont on désigne par Oxs, Oys, Ozs les axes principaux d'inertie en O (les moments d'inertie respectifs sont : A, A, C) et dont le centre d'inertie G, situé sur Ozs, est défini par OG − lzs. Supposons ce solide soumis uniquement aux efforts de pesanteur et à des efforts de liaison de moment en O négligeable. Dans ces conditions, les trois intégrales premières suivantes peuvent être écrites (Ψ, θ, ϕ étant les angles d'Euler usuels) :

cependant que l'équation du moment par rapport à l'axe nodal :
montre qu'un mouvement à θ constant (θ = θ0 de sinus non nul, faute de quoi les angles d'Euler ne sont plus adéquats) est possible si l'égalité :
est vérifiée. Il en résulte que Ψ′ reste constant et égal à Ψ′0 et que ϕ′ reste constant et égal à ϕ′0 (utilisation des intégrales premières à constantes λ et r0). Ainsi, dans cet exemple à trois paramètres de configuration, un paramètre θ reste constant et les deux autres, Ψ et ϕ, sont des fonctions du premier degré par rapport au temps (mouvement stationnaire), et l'on a :

Mais, d'une part, l'égalité stricte écrite ci-dessus et qui relie les constantes de l'appareil (m, l, C, A), l'accélération g due à la pesanteur et les valeurs initiales θ0, ϕ′0 et Ψ′0, ainsi que la condition rigoureuse θ′0 = 0, n'ont aucune chance d'être vérifiées exactement ; et il existera toujours (quel que soit le soin expérimental apporté) une différence entre la valeur de mgl et celle du second membre ; cela impose l'étude de la stabilité de ce mouvement stationnaire. D'autre part, l'expérience de la rotation stationnaire possible d'une toupie, rotation impossible d'un crayon autour de sa pointe, nous montre que cette étude n'est pas sans objet et que la stabilité est sûrement conditionnée par une ou plusieurs inégalités entre les constantes de l'appareil et les valeurs initiales ; en particulier, ϕ′0 doit être assez grand.

Un tel état de fait amène à distinguer les valeurs initiales (q0, q0) effectivement réalisées des valeurs (qe, qe) strictement exigées par les conditions d'équilibre (qe = 0) ou de mouvement stationnaire. Par exemple, dans ce qui précède :

Citons une importante propriété. Quel que soit α > 0, on peut lui associer η > 0 tel que les inégalités :

vérifiées à la date t0 assurent pour t ≥ t0 :

On exprime cette propriété en disant que le mouvement stationnaire (théorique) défini par (θe, Ψ′e, ϕ′e) est stable. L'instabilité consiste dans la négation de cette propriété.

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Écrit par

  • : professeur au Conservatoire national des arts et métiers

. In Encyclopædia Universalis []. Disponible sur : (consulté le )

Médias

Demi-ellipse limite

Demi-ellipse limite

Centre d'inertie d'un solide

Centre d'inertie d'un solide

Autres références

  • ARNOLD VLADIMIR (1937-2010)

    • Écrit par Bernard PIRE
    • 835 mots

    Le mathématicien russe Vladimir Igorevich Arnold, décédé le 3 juin 2010 à Paris des suites d'une opération chirurgicale, a marqué le développement des mathématiques dans de nombreux domaines. Né le 12 juin 1937 à Odessa en Ukraine dans une famille dont plusieurs membres étaient d'excellents scientifiques,...

  • AUTOMATIQUE

    • Écrit par Hisham ABOU-KANDIL, Henri BOURLÈS
    • 11 646 mots
    L'unedes difficultés majeures que l'on rencontre avec les systèmes bouclés est la possible instabilité de ceux-ci. Disons en première approximation qu'un système est stable lorsque toutes ses variables convergent vers des valeurs finies, dites « valeurs d'équilibre », et instable...
  • CATASTROPHES THÉORIE DES

    • Écrit par Jean PETITOT
    • 5 100 mots
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    Admettons alors ce truisme qu'un système ne peut exister que s'il est structurellement stable (résistant aux perturbations infinitésimales). La grande découverte de Thom est que la stabilité structurelle est une contrainte très forte, si forte qu'elle impose une limite draconienne à la complexité morphologique...
  • DYNAMIQUE

    • Écrit par Michel CAZIN, Jeanine MOREL
    • 9 671 mots
    • 4 médias
    Par définition, on dit qu'une valeur qi,e d'équilibre pour un paramètre qi est stable si, et seulement si, quels que soient ε > 0 et ε′ > 0 suffisamment petits :
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Voir aussi