STABILITÉ

La méthode de Liapounoff

Considérons le système différentiel :

où x décrit un espace vectoriel réel à n dimensions et f est une application à valeurs dans cet espace, t étant une variable réelle. On suppose de plus que f (x, t ) satisfait à la condition de Lipschitz :avec t ∈ [t₀, t₀ + T] et où k est une constante dans le domaine Ω(a, τ) :et on suppose aussi que f (0, t ) = 0 quel que soit t. On voit ainsi que x = 0 est un point critique ; on se propose d'en discuter la stabilité suivant les idées introduites par Liapounoff.

Si V(x, t ) est une fonction à valeurs scalaires, pourvue de dérivées partielles premières continues dans Ω(a, τ ), l'étude de sa variation le long d'une trajectoire (Γ), définie par x = x(t ) solution du système différentiel, peut aisément se faire en étudiant le signe de :

où dans le second membre les x_i devront être remplacés par les composantes x_i(t ) de la solution considérée.

On dira que la fonction V(x, t ) a un signe constant si, dans un domaine Ω(a,τ) convenable, elle est différentiable, si elle ne prend que des valeurs d'un même signe ou si elle est nulle, et si V(0, t ) = 0. Elle sera dite positive ou négative selon la nature de ce signe.

Si W(x) est une fonction indépendante du temps, on dira que W est définie positive (ou définie négative) si elle est différentiable et positive (ou négative) dans un Ω(a) convenable et si elle ne s'annule qu'à l'origine.

La fonction V(x, t ) sera dite définie positive (ou définie négative) s'il existe une fonction définie positive W(x) telle que V − W (ou − [V − W]) est positive dans un Ω(a, τ) et si V(0, t ) = 0.

Premier théorème de Liapounoff. Si, pour le système différentiel, il existe une fonction définie V(x, t ) dont la dérivée dV/dt est d'un signe constant opposé à celui de V, alors x = 0 est une solution stable du système.

Deuxième théorème de Liapounoff. Si, pour le système différentiel, et dans un domaine Ω(a, τ), les fonctions V(x, t ) et V′(x, t ) sont définies et de signes contraires, et si V(x, t ) tend vers 0 quand x → 0 uniformément par rapport à t, alors x = 0 est une solution asymptotiquement stable de ce système.

Troisième théorème de Liapounoff. Si, pour le système différentiel, on a pu construire une fonction V(x, t ) tendant vers 0 quand x → 0 uniformément par rapport à t, telle que V′(x, t ) est définie (positive ou négative) dans Ω(a, τ) et que, pour chaque valeur t ≥ τ et pour chaque valeur de η positif choisi aussi petit qu'on veut, V peut prendre dans ∥x∥ < η le signe de V′, alors l'origine est instable pour le système différentiel.

Théorème de Tchetaev. Considérant le système dx/dt = f (x), on suppose connue une fonction V(x) telle que :

1. V(x) et V′(x) = f (x) ( grad V sont positifs dans Ω₁, sous-ensemble de la boule ∥x∥ ≤ a ;

2. V(x) = 0 sur Ω−₁∩ Ω−₂, où Ω₂ désigne le complémentaire de Ω₁ dans ∥x∥ ≤ a, où Ω−₁ et Ω−₂ sont les fermetures respectives de Ω₁ et Ω₂ ;

3. x = 0 appartient à Ω−₁∩ Ω−₂ et f (0) = 0.

En conclusion, x = 0 est une solution instable de dx/dt = f (x).