STABILITÉ

Carte mentale

Élargissez votre recherche dans Universalis

La méthode de Liapounoff

Considérons le système différentiel :

x décrit un espace vectoriel réel à n dimensions et f est une application à valeurs dans cet espace, t étant une variable réelle. On suppose de plus que f (x, ) satisfait à la condition de Lipschitz :
avec ∈ [t0, t0 + T] et où k est une constante dans le domaine Ω(a, τ) :
et on suppose aussi que f (0, t ) = 0 quel que soit t. On voit ainsi que x = 0 est un point critique ; on se propose d'en discuter la stabilité suivant les idées introduites par Liapounoff.

Si V(x, ) est une fonction à valeurs scalaires, pourvue de dérivées partielles premières continues dans Ω(a, τ ), l'étude de sa variation le long d'une trajectoire (Γ), définie par x = x() solution du système différentiel, peut aisément se faire en étudiant le signe de :

où dans le second membre les xi devront être remplacés par les composantes xi() de la solution considérée.

On dira que la fonction V(x, ) a un signe constant si, dans un domaine Ω(a,τ) convenable, elle est différentiable, si elle ne prend que des valeurs d'un même signe ou si elle est nulle, et si V(0, ) = 0. Elle sera dite positive ou négative selon la nature de ce signe.

Si W(x) est une fonction indépendante du temps, on dira que W est définie positive (ou définie négative) si elle est différentiable et positive (ou négative) dans un Ω(a) convenable et si elle ne s'annule qu'à l'origine.

La fonction V(x, ) sera dite définie positive (ou définie négative) s'il existe une fonction définie positive W(x) telle que V − W (ou − [V − W]) est positive dans un Ω(a, τ) et si V(0, ) = 0.

Premier théorème de Liapounoff. Si, pour le système différentiel, il existe une fonction définie V(x, ) dont la dérivée dV/dt est d'un signe constant opposé à celui de V, alors x = 0 est une solution stable du système.

Deuxième théorème de Liapounoff. Si, pour le système différentiel, et dans un domaine Ω(a, τ), les fonctions V(x, ) et V′(x, ) sont définies et de signes contraires, et si V(x, ) tend vers 0 quand → 0 uniformément par rapport à t, alors x = 0 est une solution asymptotiquem [...]

1  2  3  4  5
pour nos abonnés,
l’article se compose de 6 pages

Médias de l’article

Demi-ellipse limite

Demi-ellipse limite
Crédits : Encyclopædia Universalis France

dessin

Centre d'inertie d'un solide

Centre d'inertie d'un solide
Crédits : Encyclopædia Universalis France

graphique

Afficher les 2 médias de l'article


Écrit par :

  • : professeur au Conservatoire national des arts et métiers

Classification

Autres références

«  STABILITÉ  » est également traité dans :

ARNOLD VLADIMIR (1937-2010)

  • Écrit par 
  • Bernard PIRE
  •  • 832 mots
  •  • 1 média

Le mathématicien russe Vladimir Igorevich Arnold , décédé le 3 juin 2010 à Paris des suites d'une opération chirurgicale, a marqué le développement des mathématiques dans de nombreux domaines. Né le 12 juin 1937 à Odessa en Ukraine dans une famille dont plusieurs membres étaient d'excellents scientifiques, il montre très tôt un goût et un talent exceptionnels pour les mathématiques. En 1959, il co […] Lire la suite

AUTOMATIQUE

  • Écrit par 
  • Hisham ABOU-KANDIL, 
  • Henri BOURLÈS
  •  • 12 271 mots

Dans le chapitre « Analyse d'un système bouclé »  : […] Un système bouclé, sous sa forme la plus classique, est représenté sur la figure 3, où P est le système à asservir et où K est le régulateur, dit à « un élément ». Ces deux systèmes sont supposés à temps continu, monovariables et minimaux, donc représentables par leurs fonctions de transfert respectives P ( s ) et K ( s ). Les signaux d u et d y sont des perturbations affectant respectiveme […] Lire la suite

CATASTROPHES THÉORIE DES

  • Écrit par 
  • Jean PETITOT
  •  • 5 119 mots
  •  • 10 médias

Dans le chapitre « Théorie des catastrophes, morphosophie, phénoménologie »  : […] La théorie des catastrophes réalise le passage de la géométrie qualitative à une modélisation de l'universum morphologique. Elle repose d'une part sur un corpus mathématique d'une grande complexité et d'autre part sur un style d'observation et d'expérimentation assez singulier, résolument non réductionniste et non quantitatif (du moins au départ). Ce n'est pas d'ailleurs que ce style soit sans pré […] Lire la suite

DYNAMIQUE

  • Écrit par 
  • Michel CAZIN, 
  • Jeanine MOREL
  •  • 10 004 mots
  •  • 4 médias

Dans le chapitre « Stabilité d'un équilibre »  : […] Par définition, on dit qu'une valeur q i ,e d'équilibre pour un paramètre q i est stable si, et seulement si, quels que soient ε   >  0 et ε ′  >  0 suffisamment petits : Une position d'équilibre d'un ensemble matériel Σ par rapport à un repère (λ) sera dite stable si, et seulement si, il y a stabilité par rapport à tous les paramètres. Pratiquement, une position d'équilibre instable ne pourra j […] Lire la suite

ÉQUILIBRATION

  • Écrit par 
  • Francis LESTIENNE
  •  • 4 475 mots
  •  • 2 médias

Dans le chapitre « La fonction proprioceptive de la vision »  : […] Il est maintenant admis que le système visuel a une double fonction : fonction extéroceptive de la vision centrale ou fovéale, qui permet l'identification (forme, dimensions) et la localisation précise (distance) d'un objet ; fonction proprioceptive de la vision périphérique, qui renseigne sur les mouvements relatifs d'une scène visuelle, jouant ainsi le rôle d'un tachymètre. Cette fonction prop […] Lire la suite

HASARD & NÉCESSITÉ

  • Écrit par 
  • Ilya PRIGOGINE, 
  • Isabelle STENGERS
  • , Universalis
  •  • 9 586 mots

Dans le chapitre « Les risques de la définition »  : […] L'enjeu de la question du hasard et de la nécessité était de savoir si le fait d'appartenir à une tradition qui ne se satisfait pas d'une recherche de connaissances « purement pragmatiques » et associe aux sciences les valeurs d'une recherche d'intelligibilité implique une relation privilégiée entre science et déterminisme. Jusqu'ici, on a pu constater ce privilège de fait et mesurer le prix dont […] Lire la suite

MÉCANIQUE SPATIALE

  • Écrit par 
  • Jean-Pierre CARROU
  •  • 6 668 mots
  •  • 15 médias

Dans le chapitre « Le contrôle d'attitude »  : […] Vouloir assurer des missions spatiales nécessite non seulement de respecter les contraintes liées à la position du centre de gravité au cours du temps, mais aussi de tenir compte de celles qui influent sur le mouvement du satellite autour du centre de gravité : il s'agit du mouvement d' attitude. Les satellites sont soumis à des perturbations d'origine externe – aérodynamiques, magnétiques, radiat […] Lire la suite

MÉTASTABILITÉ

  • Écrit par 
  • Alain DELAUNAY
  •  • 1 077 mots

«  Ce qui se manifeste , c'est aussi, en premier et le plus souvent, l'apparente stabilité des choses visibles, leur extraordinaire entêtement à demeurer en leur état » (J. T. Desanti, Natura Rerum : ordre ou désordre ? ). La stabilité désigne la condition de possibilité de la réalité phénoménale. Mais signifie-t-elle pour autant la propriété essentielle de la réalité ? Est-elle contingente ou néc […] Lire la suite

NAVIRES - Architecture navale

  • Écrit par 
  • Michel BENICOURT, 
  • Raymond SERVIÈRES
  •  • 5 289 mots
  •  • 5 médias

Dans le chapitre «  Équilibre du navire immobile et choix des formes »  : […] La résultante des pressions hydrostatiques s'exerçant sur la carène d'un navire immobile est une poussée verticale, dirigée vers le haut, égale au déplacement et appliquée au centre de carène (principe d'Archimède). En position d'équilibre (fig. 2a) , le centre de gravité G et le centre de carène C 0 sont sur une même verticale, et la poussée π est égale au poids Δ. Le relevé des tirants d'eau, q […] Lire la suite

NAVIRES - Navires de guerre

  • Écrit par 
  • Régis BEAUGRAND, 
  • André BERNARDINI, 
  • Jean LE TALLEC, 
  • Marc MENEZ, 
  • Jean TOUFFAIT
  •  • 12 476 mots
  •  • 10 médias

Dans le chapitre « Équilibre du bâtiment »  : […] Un sous-marin navigue à la surface en maintenant vides des capacités appelées « ballasts ». Pour plonger, il s'alourdit en y admettant de l'eau de mer. Le retour en surface s'obtient en effectuant l'opération inverse. Un certain nombre de « déplacements » de sous-marins ont été définis. Les définitions en usage en France sont les suivantes : – déplacement réglementaire en plongée : on appelle dép […] Lire la suite

Voir aussi

Les derniers événements

États-Unis. Poursuite des pressions sur Pékin. 3-26 août 2020

visite représente une menace pour « la paix et la stabilité ». Le 25, un avion-espion américain survole la mer de Bohai, proche de Pékin. Le 26, l’armée chinoise tire quatre missiles balistiques en direction de la mer de Chine méridionale depuis la province du Zhejiang à l’est et du Qinghai à l’ouest […] Lire la suite

Union européenne. Adoption d’un vaste plan de soutien face à l’épidémie de Covid-19. 6-23 avril 2020

hauteur de 100 milliards d’euros. Ils s’entendent également sur la mise en œuvre du Mécanisme européen de stabilité (MES), un fonds de sauvetage de 410 milliards d’euros créé en septembre 2012 en réponse à la crise de l’euro. Afin de prévenir l’imposition de taux prohibitifs par les marchés […] Lire la suite

Union européenne. Lutte contre l’épidémie de Covid-19. 11-23 mars 2020

. Le 23, les ministres des Finances de l’Union européenne décident d’activer la « clause de suspension générale » du pacte de croissance et de stabilité, qui dégage les États membres de toute contrainte budgétaire en cas de récession grave et généralisée, notamment du taux maximal de déficit public fixé à 3 p. 100 du PIB. Le même jour, la Commission européenne assouplit temporairement la règle qui limite les aides publiques aux entreprises. […] Lire la suite

Union européenne. Présentation d’un « green deal ». 11-12 décembre 2019

 », de réviser la directive sur la fiscalité énergétique, de soumettre la conclusion des accords commerciaux au respect par l’autre partie de l’accord de Paris sur le climat et de réviser le pacte de stabilité et de confiance de façon à ne pas inclure dans les déficits publics les investissements en faveur […] Lire la suite

Bolivie. Démission du président Evo Morales. 8-24 novembre 2019

démissionnent et que l’armée lui demande de renoncer à son mandat « pour la restauration de la stabilité dans le pays », Evo Morales annonce son départ. Il avait auparavant proposé la convocation de nouvelles élections, se conformant à l’avis rendu le même jour par l’Organisation des États américains […] Lire la suite

Pour citer l’article

Michel CAZIN, « STABILITÉ », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 22 janvier 2021. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/stabilite/