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STABILITÉ

Exemples de stabilité

Stabilité de la rotation autour d'un axe principal d'un solide mobile autour de son centre d'inertie

Les équations du mouvement, dans les notations classiques, sont :

A, B, et C désignent les moments principaux d'inertie, et p, q et r les composantes sur les axes principaux de la rotation instantanée du solide.

Étudions la stabilité de la solution : p = 0, q = 0 et r = r0 > 0.

Introduisons les nouvelles variables ξ, η et ζ :

On obtient le système :

Si A ≥ B > C, nous prendrons :

définie positive ; on vérifie que V′ = 0 et, par le premier théorème de Liapounoff, on peut en déduire la stabilité de la solution ξ = η = ζ = 0.

Si A ≤ B < C, nous prendrons :

définie négative, telle encore que V′ = 0 ; il y a donc stabilité en vertu du premier théorème de Liapounoff.

Enfin, si A < C < B, nous prendrons V = ξ ( η dont la dérivée est :

Par le théorème de Tchetaev, on reconnaît qu'il y a instabilité.

Dans la technique de linéarisation, on aurait écrit directement :

C'est-à-dire que, par élimination de ξ ou de η, on obtient l'équation du second ordre :

(avec ε = ξ ou η), qui ne s'écrit sous la forme ε″ + Ω2ε = 0 (oscillateur stable) que si (C − A)(C − B) > 0, c'est-à-dire si C est le plus petit ou le plus grand des trois moments d'inertie principaux.

Oscillateurs linéaires associés aux mouvements « voisins » du mouvement stationnaire d'un ensemble mécanique

Reprenons l'étude commencée au chapitre 2 et engageons la linéarisation des équations. Si nous calculons Ψ′ et ϕ′ à l'aide des deux intégrales premières linéaires en Ψ′ et ϕ′ et si nous reportons le résultat dans l'équation du moment nodal, nous trouvons une équation différentielle du second ordre en θ qui est valable dans tous les cas de mouvement :

*

Pour un mouvement stationnaire, on doit avoir :

c'est-à-dire que, avec C2r20 > Amgl cosθe, il existe deux valeurs de Ψ′e pour lesquelles θ reste constant. On établit l'équation de l'oscillateur linéaire associé aux mouvements voisins de ce mouvement stationnaire. À cet effet, on pose θ = θe + ε et on obtient :
qui est de la forme ε″ + Ω2ε = 0, sous la réserve que :

Cette condition est celle de la stabilité de l'oscillateur associé aux mouvements « voisins » du mouvement stationnaire étudié.

— Michel CAZIN

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Écrit par

  • : professeur au Conservatoire national des arts et métiers

. In Encyclopædia Universalis []. Disponible sur : (consulté le )

Médias

Demi-ellipse limite

Demi-ellipse limite

Centre d'inertie d'un solide

Centre d'inertie d'un solide

Autres références

  • ARNOLD VLADIMIR (1937-2010)

    • Écrit par Bernard PIRE
    • 835 mots

    Le mathématicien russe Vladimir Igorevich Arnold, décédé le 3 juin 2010 à Paris des suites d'une opération chirurgicale, a marqué le développement des mathématiques dans de nombreux domaines. Né le 12 juin 1937 à Odessa en Ukraine dans une famille dont plusieurs membres étaient d'excellents scientifiques,...

  • AUTOMATIQUE

    • Écrit par Hisham ABOU-KANDIL, Henri BOURLÈS
    • 11 646 mots
    L'unedes difficultés majeures que l'on rencontre avec les systèmes bouclés est la possible instabilité de ceux-ci. Disons en première approximation qu'un système est stable lorsque toutes ses variables convergent vers des valeurs finies, dites « valeurs d'équilibre », et instable...
  • CATASTROPHES THÉORIE DES

    • Écrit par Jean PETITOT
    • 5 100 mots
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    Admettons alors ce truisme qu'un système ne peut exister que s'il est structurellement stable (résistant aux perturbations infinitésimales). La grande découverte de Thom est que la stabilité structurelle est une contrainte très forte, si forte qu'elle impose une limite draconienne à la complexité morphologique...
  • DYNAMIQUE

    • Écrit par Michel CAZIN, Jeanine MOREL
    • 9 671 mots
    • 4 médias
    Par définition, on dit qu'une valeur qi,e d'équilibre pour un paramètre qi est stable si, et seulement si, quels que soient ε > 0 et ε′ > 0 suffisamment petits :
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Voir aussi