STABILITÉ
Exemples de stabilité
Stabilité de la rotation autour d'un axe principal d'un solide mobile autour de son centre d'inertie
Les équations du mouvement, dans les notations classiques, sont :
A, B, et C désignent les moments principaux d'inertie, et p, q et r les composantes sur les axes principaux de la rotation instantanée du solide.
Étudions la stabilité de la solution : p = 0, q = 0 et r = r0 > 0.
Introduisons les nouvelles variables ξ, η et ζ :
On obtient le système :
Si A ≥ B > C, nous prendrons :
Si A ≤ B < C, nous prendrons :
Enfin, si A < C < B, nous prendrons V = ξ ( η dont la dérivée est :
Par le théorème de Tchetaev, on reconnaît qu'il y a instabilité.
Dans la technique de linéarisation, on aurait écrit directement :
C'est-à-dire que, par élimination de ξ ou de η, on obtient l'équation du second ordre :
Oscillateurs linéaires associés aux mouvements « voisins » du mouvement stationnaire d'un ensemble mécanique
Reprenons l'étude commencée au chapitre 2 et engageons la linéarisation des équations. Si nous calculons Ψ′ et ϕ′ à l'aide des deux intégrales premières linéaires en Ψ′ et ϕ′ et si nous reportons le résultat dans l'équation du moment nodal, nous trouvons une équation différentielle du second ordre en θ qui est valable dans tous les cas de mouvement :
Pour un mouvement stationnaire, on doit avoir :
Cette condition est celle de la stabilité de l'oscillateur associé aux mouvements « voisins » du mouvement stationnaire étudié.
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Écrit par
- Michel CAZIN : professeur au Conservatoire national des arts et métiers
Classification
Pour citer cet article
Michel CAZIN. STABILITÉ [en ligne]. In Encyclopædia Universalis. Disponible sur : (consulté le )
Article mis en ligne le et modifié le 14/03/2009
Médias
Demi-ellipse limite
Encyclopædia Universalis France
Centre d'inertie d'un solide
Encyclopædia Universalis France
Autres références
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ARNOLD VLADIMIR (1937-2010)
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Le mathématicien russe Vladimir Igorevich Arnold, décédé le 3 juin 2010 à Paris des suites d'une opération chirurgicale, a marqué le développement des mathématiques dans de nombreux domaines. Né le 12 juin 1937 à Odessa en Ukraine dans une famille dont plusieurs membres étaient d'excellents scientifiques,...
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AUTOMATIQUE
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L'unedes difficultés majeures que l'on rencontre avec les systèmes bouclés est la possible instabilité de ceux-ci. Disons en première approximation qu'un système est stable lorsque toutes ses variables convergent vers des valeurs finies, dites « valeurs d'équilibre », et instable... -
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