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STABILITÉ

Définition générale de la stabilité

Moyennant la convention précédente, on allégera l'écriture en traitant comme un tout la configuration (q) et l'état de vitesse (q′), on notera donc s l'élément (q1, ..., qn ; q1, ..., qn) de R2n et se l'élément [(q1)e, ..., (qn)e ; 0, ..., 0], et on appelera voisinage de se dans R2n tout ensemble contenant une boule de centre se de rayon ρ non nul.

La stabilité de l'équilibre se consiste dans la propriété suivante : Quel que soit V, voisinage de se, on peut lui associer W, voisinage de se, tel que l'hypothèse s0 ∈ W implique :

L'instabilité consiste dans la négation de cette propriété. Si l'ensemble mécanique étudié est à liaisons indépendantes du temps, la stabilité éventuelle de la position d'équilibre définie par la valeur qe de q est une propriété indépendante du choix des paramètres ; la propriété ci-dessus énoncée sert donc également dans le cas du mouvement stationnaire (cf. chap. 2), ainsi que dans l'exemple du chapitre 1 où les ωj sont constants.

Compte tenu de cette définition précise de la stabilité, on peut choisir α > 0, arbitrairement petit, mais qui reste fixé dans la discussion de la stabilité de qe = 0, laquelle requiert seulement l'étude des mouvements sur un intervalle de temps tel que |q(t )| ≤ α.

On exploite souvent cette remarque en choisissant α si petit que les fonctions de q à faire intervenir dans l'étude puissent être remplacées par des développements limités. Ainsi, on remplace les équations du mouvement par d'autres qui semblent « voisines » et plus simples, notamment linéaires. Une telle linéarisation ne constitue pas une méthode mathématique rigoureuse pour juger de la stabilité. Le fait de remplacer un système différentiel par un autre, même voisin, peut modifier considérablement le comportement des solutions. On dira tout au plus qu'on a associé des oscillateurs linéaires au mouvement stationnaire étudié. Les techniques de linéarisation sont très employées en pratique ; elles sont souvent les seules disponibles et ne faisant pas appel à un développement mathématique considérable. À ce sujet, le chapitre 6 de cet article permettra de comparer les difficultés de l'étude analytique, suivant qu'on suit une méthode de linéarisation ou une méthode mathématique plus rigoureuse qui va maintenant être exposée. Auparavant, dans le cadre des résultats élémentaires, rappelons l'énoncé du théorème (très commode) de Lejeune-Dirichlet :

« Si un ensemble mécanique (D) est à liaisons indépendantes du temps et si ses mouvements sont régis notamment par l'intégrale première de l'énergie (cf. dynamique, chap. 7) :

en un point qe pour lequel la fonction U présente un maximum local strict, l'équilibre éventuel dans la configuration correspondante est stable (condition suffisante d'équilibre, mais qui n'est nullement nécessaire). »

Cela nous permet de répondre à la question posée au chapitre précédent. Si :

la configuration définie par θ = π/2 est stable.

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Écrit par

  • : professeur au Conservatoire national des arts et métiers

. In Encyclopædia Universalis []. Disponible sur : (consulté le )

Médias

Demi-ellipse limite

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Centre d'inertie d'un solide

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Autres références

  • ARNOLD VLADIMIR (1937-2010)

    • Écrit par Bernard PIRE
    • 835 mots

    Le mathématicien russe Vladimir Igorevich Arnold, décédé le 3 juin 2010 à Paris des suites d'une opération chirurgicale, a marqué le développement des mathématiques dans de nombreux domaines. Né le 12 juin 1937 à Odessa en Ukraine dans une famille dont plusieurs membres étaient d'excellents scientifiques,...

  • AUTOMATIQUE

    • Écrit par Hisham ABOU-KANDIL, Henri BOURLÈS
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    L'unedes difficultés majeures que l'on rencontre avec les systèmes bouclés est la possible instabilité de ceux-ci. Disons en première approximation qu'un système est stable lorsque toutes ses variables convergent vers des valeurs finies, dites « valeurs d'équilibre », et instable...
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    Admettons alors ce truisme qu'un système ne peut exister que s'il est structurellement stable (résistant aux perturbations infinitésimales). La grande découverte de Thom est que la stabilité structurelle est une contrainte très forte, si forte qu'elle impose une limite draconienne à la complexité morphologique...
  • DYNAMIQUE

    • Écrit par Michel CAZIN, Jeanine MOREL
    • 9 671 mots
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    Par définition, on dit qu'une valeur qi,e d'équilibre pour un paramètre qi est stable si, et seulement si, quels que soient ε > 0 et ε′ > 0 suffisamment petits :
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Voir aussi