STABILITÉ
Exemple issu de la dynamique des systèmes (équilibre)
Centre d'inertie d'un solide
Encyclopædia Universalis France
Soit un solide (S1) en mouvement rotoïde d'axe Oz (horizontal) par rapport au galiléen : le centre d'inertie G1 de ce solide est défini par OG1 = a1x1. Un point A lié à (S1) est défini par OA = ax1, avec a > a1 ; en ce point passe Az qui est l'axe d'un rotoïde entre un deuxième solide (S2) et le solide (S1). L'axe Ax2 est lié à (S2) : sur cet axe, un point B lié à (S2) est défini par AB = lx2, et le centre d'inertie G2 de (S2) est défini par AG2 = − bx2, avec b > 0. L'axe Oy est la verticale ascendante de O, le point B est assujetti à rester dans le plan Oyz. Toutes les liaisons mises en jeu développent une puissance négligeable. Étudier la stabilité de l'équilibre dans lequel l'angle θ = (Ox, OA) prend la valeur π/2 et dans lequel l'angle (y, x2) = β prend la valeur nulle est un problème qui a été résolu de manière plus simple (cf. dynamique, chap. 9 et le théorème de Lejeune-Dirichlet, infra, chap. 4).
Les angles θ et β ne sont pas indépendants, mais ils ont entre eux la relation :
De plus, on a :
Par suite, la puissance développée par les torseurs de pesanteur est :
Pour le voisinage de la position étudiée (θ = π/2, β = 0), on peut écrire :
Pour ε = 0, la fonction U prend la valeur :
Le théorème de Lejeune-Dirichlet permet d'affirmer que si U est maximum pour ε = 0 (c'est-à-dire θ = π/2), alors l'équilibre de l'ensemble est stable, c'est-à-dire que, quel que soit α > 0, on peut lui associer η > 0 tel que les inégalités :
Dans les conditions précédentes, ω est une variable d'homogénéité ayant la dimension physique d'une vitesse angulaire de manière que η soit un nombre pur. Cette intervention est toujours possible et, dans la discussion de la stabilité, quand on écrit q et sa dérivée q′ par rapport au temps, on suppose que, par suite d'intervention implicite de variables d'homogénéité, q et q′ sont dénués de dimension physique.
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Écrit par
- Michel CAZIN : professeur au Conservatoire national des arts et métiers
Classification
Pour citer cet article
Michel CAZIN. STABILITÉ [en ligne]. In Encyclopædia Universalis. Disponible sur : (consulté le )
Article mis en ligne le et modifié le 14/03/2009
Médias
Demi-ellipse limite
Encyclopædia Universalis France
Centre d'inertie d'un solide
Encyclopædia Universalis France
Autres références
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ARNOLD VLADIMIR (1937-2010)
- Écrit par Bernard PIRE
- 835 mots
Le mathématicien russe Vladimir Igorevich Arnold, décédé le 3 juin 2010 à Paris des suites d'une opération chirurgicale, a marqué le développement des mathématiques dans de nombreux domaines. Né le 12 juin 1937 à Odessa en Ukraine dans une famille dont plusieurs membres étaient d'excellents scientifiques,...
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AUTOMATIQUE
- Écrit par Hisham ABOU-KANDIL et Henri BOURLÈS
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L'unedes difficultés majeures que l'on rencontre avec les systèmes bouclés est la possible instabilité de ceux-ci. Disons en première approximation qu'un système est stable lorsque toutes ses variables convergent vers des valeurs finies, dites « valeurs d'équilibre », et instable... -
CATASTROPHES THÉORIE DES
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Admettons alors ce truisme qu'un système ne peut exister que s'il est structurellement stable (résistant aux perturbations infinitésimales). La grande découverte de Thom est que la stabilité structurelle est une contrainte très forte, si forte qu'elle impose une limite draconienne à la complexité morphologique... -
DYNAMIQUE
- Écrit par Michel CAZIN et Jeanine MOREL
- 9 671 mots
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Par définition, on dit qu'une valeur qi,e d'équilibre pour un paramètre qi est stable si, et seulement si, quels que soient ε > 0 et ε′ > 0 suffisamment petits :
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