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STABILITÉ

Exemple issu de la dynamique des systèmes (équilibre)

Centre d'inertie d'un solide

Centre d'inertie d'un solide

Soit un solide (S1) en mouvement rotoïde d'axe Oz (horizontal) par rapport au galiléen : le centre d'inertie G1 de ce solide est défini par OG1 = a1x1. Un point A lié à (S1) est défini par OA = ax1, avec a > a1 ; en ce point passe Az qui est l'axe d'un rotoïde entre un deuxième solide (S2) et le solide (S1). L'axe Ax2 est lié à (S2) : sur cet axe, un point B lié à (S2) est défini par AB = lx2, et le centre d'inertie G2 de (S2) est défini par AG2 = − bx2, avec b > 0. L'axe Oy est la verticale ascendante de O, le point B est assujetti à rester dans le plan Oyz. Toutes les liaisons mises en jeu développent une puissance négligeable. Étudier la stabilité de l'équilibre dans lequel l'angle θ = (Ox, OA) prend la valeur π/2 et dans lequel l'angle (y, x2) = β prend la valeur nulle est un problème qui a été résolu de manière plus simple (cf. dynamique, chap. 9 et le théorème de Lejeune-Dirichlet, infra, chap. 4).

Les angles θ et β ne sont pas indépendants, mais ils ont entre eux la relation :

De plus, on a :

d'où l'on déduit :

Par suite, la puissance développée par les torseurs de pesanteur est :

d'où la fonction de force :

Pour le voisinage de la position étudiée (θ = π/2, β = 0), on peut écrire :

donc, dans ces conditions,

Pour ε = 0, la fonction U prend la valeur :

et le calcul de la partie principale (U − U0) de U − U0 en fonction de l'infiniment petit principal ε fournit le résultat suivant :
ce qui signifie que U est extremum pour ε = 0 ; il y a équilibre. Mais l'extremum peut être respectivement un maximum ou un minimum si :

Le théorème de Lejeune-Dirichlet permet d'affirmer que si U est maximum pour ε = 0 (c'est-à-dire θ = π/2), alors l'équilibre de l'ensemble est stable, c'est-à-dire que, quel que soit α > 0, on peut lui associer η > 0 tel que les inégalités :

vérifiées au temps t0, assurent pour t ≥ t0 :

Dans les conditions précédentes, ω est une variable d'homogénéité ayant la dimension physique d'une vitesse angulaire de manière que η soit un nombre pur. Cette intervention est toujours possible et, dans la discussion de la stabilité, quand on écrit q et sa dérivée q′ par rapport au temps, on suppose que, par suite d'intervention implicite de variables d'homogénéité, q et q′ sont dénués de dimension physique.

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Écrit par

  • : professeur au Conservatoire national des arts et métiers

. In Encyclopædia Universalis []. Disponible sur : (consulté le )

Médias

Demi-ellipse limite

Demi-ellipse limite

Centre d'inertie d'un solide

Centre d'inertie d'un solide

Autres références

  • ARNOLD VLADIMIR (1937-2010)

    • Écrit par Bernard PIRE
    • 835 mots

    Le mathématicien russe Vladimir Igorevich Arnold, décédé le 3 juin 2010 à Paris des suites d'une opération chirurgicale, a marqué le développement des mathématiques dans de nombreux domaines. Né le 12 juin 1937 à Odessa en Ukraine dans une famille dont plusieurs membres étaient d'excellents scientifiques,...

  • AUTOMATIQUE

    • Écrit par Hisham ABOU-KANDIL, Henri BOURLÈS
    • 11 646 mots
    L'unedes difficultés majeures que l'on rencontre avec les systèmes bouclés est la possible instabilité de ceux-ci. Disons en première approximation qu'un système est stable lorsque toutes ses variables convergent vers des valeurs finies, dites « valeurs d'équilibre », et instable...
  • CATASTROPHES THÉORIE DES

    • Écrit par Jean PETITOT
    • 5 100 mots
    • 10 médias
    Admettons alors ce truisme qu'un système ne peut exister que s'il est structurellement stable (résistant aux perturbations infinitésimales). La grande découverte de Thom est que la stabilité structurelle est une contrainte très forte, si forte qu'elle impose une limite draconienne à la complexité morphologique...
  • DYNAMIQUE

    • Écrit par Michel CAZIN, Jeanine MOREL
    • 9 671 mots
    • 4 médias
    Par définition, on dit qu'une valeur qi,e d'équilibre pour un paramètre qi est stable si, et seulement si, quels que soient ε > 0 et ε′ > 0 suffisamment petits :
  • Afficher les 17 références

Voir aussi