INTUITIONNISME
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Dans l'acception technique et contemporaine du mot, c'est-à-dire quand le terme ne se contente pas de caractériser une philosophie faisant à l'intuition une large part, l'intuitionnisme est à la fois une doctrine relative aux mathématiques, à la vérité et au langage, et une logique « non classique » qui trouve son fondement dans cette doctrine.
La conception intuitionniste des mathématiques en fait une science qui décrit nos constructions mentales. Les objets mathématiques, loin d'être des réalités « platoniciennes » objectives, autonomes et éternelles, sont des produits de l'esprit humain, accessibles par réflexion et par introspection. Chaque assertion mathématique peut être exprimée sous la forme : « J'ai effectué la construction A dans mon esprit » (A. Heyting, 1971).
L'intuitionnisme de Brouwer
Compte tenu de cette accessibilité, l'idée d'une vérité mathématique inconnue est absurde : comme l'écrit en 1948 le Néerlandais Luitzen Egbertus Brouwer (1881-1966), créateur et promoteur de la doctrine, « il n'y a pas de vérité sans expérience de la vérité ».
Le rôle du langage est considéré comme mineur : il est restreint à la mémorisation des résultats de l'activité mathématique individuelle de construction et à sa communication à autrui. D'une part, un mathématicien qui serait doué d'une mémoire parfaite pourrait parfaitement opérer sans langage, d'autre part, la connaissance des transcriptions linguistiques des constructions d'autrui ne saurait tenir lieu de connaissance mathématique : la vérité communiquée demande à être rééprouvée pour soi-même, et les constructions à être refaites pour son propre compte.
C'est dire que l'intuitionnisme est une doctrine massivement hétérodoxe, qui contredit l'opinion reçue selon laquelle les mathématiques sont une science objective, dont les propositions sont vraies ou fa [...]
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Écrit par :
- Jacques-Paul DUBUCS : chargé de recherche au C.N.R.S.
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CONCEPTUALISME, philosophie
Dans le chapitre « Le prédicativisme, expression logique du conceptualisme ontologique » : […] Pour éviter toute confusion entre ces deux usages, il serait évidemment préférable de convenir de l'utiliser pour faire référence à l'une ou bien à l'autre position. Dans Nécessité ou Contingence (1984), Jules Vuillemin réserve le terme de conceptualisme à ce que l'on a appelé le conceptualisme ontologique, et utilise le terme d'intuitionnisme pour faire référence à une position philosophique qu […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/conceptualisme-philosophie/#i_25874
CONSTRUCTIVISME, mathématique
Dans le chapitre « Différentes variétés de constructivisme » : […] De nombreuses variétés de ce constructivisme ont vu le jour depuis la fin du xix e siècle. Parmi les plus importantes, on peut citer, par ordre approximativement chronologique : – la doctrine des « semi-intuitionnistes » français [René-Louis Baire (1874-1932), Émile Borel (1871-1956), Henri Lebesgue (1875-1941)], qui n'accorde d'existence qu'aux objets mathématiques explicitement définis ; – le […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/constructivisme-mathematique/#i_25874
CONTINU & DISCRET
Dans le chapitre « Continu et théorie des fondements » : […] Du double aspect du mystère du continu et du discret, la logique et la théorie des ensembles, en première approche, ne retiennent que celui qui est lié au problème de l'infini en général : le problème du continu y est envisagé comme problème du « nombre transfini » associé à l'objet de l'analyse réelle. On se contentera ici de mentionner le théorème de Lowenheim-Skolem et le résultat de Cohen au s […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/continu-et-discret/#i_25874
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Dans le chapitre « L'ordinal ε0 et la ω-logique » : […] À plusieurs reprises dans les années trente, Gentzen allait donner des démonstrations de cohérence pour l' arithmétique de Peano AP . Pour obtenir de tels résultats, il était nécessaire, par le second théorème d'incomplétude, de se servir de méthodes extérieures à l'arithmétique. Gentzen utilisa comme méthode l' induction transfinie jusqu'à ε 0 , où ε 0 est défini comme le suprémum des ordinaux ω […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/theorie-de-la-demonstration/#i_25874
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GENTZEN GERHARD (1909-1945)
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Pour citer l’article
Jacques-Paul DUBUCS, « INTUITIONNISME », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 17 janvier 2020. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/intuitionnisme/