VÉRITÉ, mathématique

Assez paradoxalement, la notion de vérité mathématique est délicate du point de vue du philosophe et peu problématique dans le travail quotidien du mathématicien. Comprendre cette opposition est crucial pour se faire une idée juste des mathématiques contemporaines.

Une multitude d'attitudes sont possibles vis-à-vis du sens à donner aux énoncés mathématiques, ces attitudes dépendant en particulier du statut que l'on accordera aux objets mathématiques. Nous décrirons ici trois attitudes principales que nous nommerons, conformément à la tradition, réalisme, formalisme et intuitionnisme. Notons qu'il s'agit ici à chaque fois de ces mots pris dans le cadre de la philosophie des mathématiques : le réalisme en philosophie des mathématiques (aussi nommé platonisme mathématique) n'a pas grand-chose à voir avec le réalisme en philosophie de la physique. De même, pour formalisme et intuitionnisme. Nous décrirons les traits principaux de ces doctrines sans entrer dans le détail des multiples variantes possibles.

Réalisme

Pour un réaliste, l'existence des objets mathématiques leur est spécifique et ne se réduit pas à l'existence des objets du monde physique : il y a en quelque sorte deux prédicats « il existe », l'un propre à la physique, l'autre propre aux mathématiques. Le nombre 357 existe (mathématiquement) de toute éternité, et cela n'a rien à voir avec le fait qu'un être doué de raison en ait conscience. De même le continu (l'ensemble des nombres réels) existe dans le monde des entités mathématiques et ses propriétés sont déterminées par son être. Pour le réaliste, les moyens que nous avons de connaître ces objets, c'est-à-dire la possibilité de savoir ce qui est vrai ou faux à leur sujet, résultent de capacités particulières de notre intelligence. Ce sont, soit des facultés d'abstraction nous permettant de tirer de nos relations avec le monde physique des informations sur le monde abstrait, soit – conception plus radicale – une intuition particulière conduisant à une intimité immédiate avec les objets abstraits – Kurt Gödel (1906-1978) défendait une doctrine de ce type. La formulation d'axiomes, les raisonnements que nous faisons et qui lient les vérités mathématiques les unes aux autres, tout cela est évidemment important pour le réaliste, mais n'est pas premier. De la même façon que, pour un physicien, le langage mathématique est un outil permettant de parler des objets physiques, d'exprimer et d'organiser des énoncés à leur sujet, le réaliste mathématique conçoit le raisonnement comme un instrument d'accès parmi d'autres à une vérité mathématique indépendante de nous.