ARCHIMÈDE (287-212 av. J.-C.)

Le transcendant existe-t-il ?

Cependant, Archimède n'a pas abordé de front le problème du centre de gravité du demi-cercle. Si tout corps a un barycentre bien défini, une plaque demi-circulaire en a un. Nous savons – et Archimède aussi, mais il se garde bien de le dire – que ce point est sur l'axe de symétrie, à une distance de la base égale à (4/3 π) R. L'existence du barycentre implique donc celle du rapport π, celle d'une longueur rectiligne égale à une circonférence donnée, celle d'un carré équivalent à un cercle donné, bref la possibilité de la quadrature du cercle.

Affirmer brutalement l'existence du barycentre d'un demi-cercle, c'est compromettre toute l'œuvre archimédienne.

Dans la lettre à Ératosthène, Archimède remplace la recherche de ce centre par celle du volume d'un onglet hémicylindrique. « Si l'on inscrit un cylindre dans un prisme droit à base carrée, un plan passant par le centre de la base inférieure et un côté de la base supérieure du prisme sépare du cylindre un segment qui est le sixième du prisme entier. » Puis, « si, dans un cube, on inscrit deux cylindres, leur partie commune est les deux tiers du cube ».

« Ces théorèmes diffèrent de ceux trouvés précédemment, car nous avions comparé les volumes des conoïdes et des sphéroïdes et de leurs segments avec des cônes et des cylindres. Mais aucune de ces figures n'a été trouvée équivalente à un polyèdre, alors que chacune des nouvelles, bien que délimitée par des surfaces cylindriques, est équivalente à un polyèdre. »

Mais on peut aborder par bien des voies la quadrature du cercle. Dans le célèbre et court traité De la mesure du cercle, Archimède utilise le calcul et arrive à l'encadrement bien connu :

Cependant, une approche plus savante est constituée par le Traité des spirales.

« Lorsqu'une droite, dont une extrémité est fixe, tourne uniformément dans un plan et que, sur la droite en rotation, un point se meut uniformément, le point décrira une spirale dans le plan. »

Par une étude délicate, méticuleuse, mais admirable, Archimède montre que l'existence d'une tangente en tout point de la spirale équivaut à la quadrature du cercle. Il démontre toutes les propositions nécessaires tant pour établir l'existence que pour établir l'unicité de cette tangente. Mais, s'il achève le raisonnement explicite pour ce qui concerne l'unicité, il reste muet quant à l'existence.

Ainsi, ayant le premier énoncé clairement les axiomes des groupes archimédiens, il est encore, dans l'Antiquité grecque, le mathématicien qui s'approche le plus de la notion moderne du continu.

Il reste, en topologie et en théorie de la mesure, un modèle, et l'on comprend combien il eut raison de ne pas céder aux sollicitations de Hiéron, « qui ne cessait de l'engager à tourner son art des choses purement intellectuelles vers les objets sensibles, et de rendre ses raisonnements en quelque sorte accessibles aux sens et palpables au commun des hommes en les appliquant par l'expérience à des choses d'usage ».

L'ingénieur en chef de Syracuse avait fait consciencieusement son métier. Il l'avait exercé avec amour, et, les temps difficiles étant venus, il le fit avec courage et efficacité. Il y avait trouvé sa raison d'être et puisé le fond même de ses pensées. Il avait amélioré de son mieux plusieurs techniques.

Il s'était cependant jeté à corps perdu dans les plus hautes spéculations. Combien a-t-il eu raison de ne pas suivre les conseils de son roi ! Sa récompense suprême, il la trouve dans la joie d'avoir découvert dans les figures qu'il a étudiées « des propriétés inhérentes à leur nature, y existant de tout temps, et cependant ignorées de ceux qui m'ont précédé ».