Par les différents adjectifs généralement accolés au substantif commun qu'est le nombre, la langue mathématique familière surprend et inquiète, car elle risque de susciter des confusions : nombres rationnels (d'autres nombres seraient donc sans raison ?), nombres réels (des nombres doués d'existence propre ?), nombres algébriques (seuls susceptibles des règles de l'algèbre ?), nombres transfigurés, nombres hyperréels, nombres cardinaux, nombres flous, etc.
L'histoire, naturellement, explique cette richesse du vocabulaire. Elle justifie l'organisation des adjectifs par couples opposés, oppositions dont la constitution scande les conquêtes mathématiques sur le champ numérique. Nombres réels et nombres imaginaires forment un couple antagoniste, de même que le couple nombres rationnels – nombres irrationnels, ou encore le couple nombres algébriques – nombres transcendants. Cette histoire embrasse l'évolution générale des mathématiques, tout particulièrement pour ce qui concerne les nombres qualifiés de réels. En effet, on peut sans exagération en faire remonter la théorie à la Grèce classique, la Grèce d'Euclide, celle de la génération d'après Alexandre le Grand. Pourtant, la […]
Autres références
« RÉELS NOMBRES » est également traité dans :
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ANALYSE MATHÉMATIQUE
Auteur :
Jean DIEUDONNÉ
Dans le chapitre "L'avènement de la théorie des ensembles et de la topologie" : …
de Cauchy ») d'existence de la limite d'une suite (un) de nombres *réels : pour tout ε > 0, il existe un entier n0 tel que, si met nsont tous deux au moins égaux à n0, on a |um − un| ≤ ε (…
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BOLZANO BERNARD (1781-1848)
Auteur :
Jan SEBESTIK
Dans le chapitre "Le système de la « Grössenlehre » et les « Paradoxes de l'infini »" : …
est une propriété et, à son avis, on ne calcule pas avec des propriétés, mais avec des objets. La* partie la plus remarquable de la Reine Zahlenlehre traite des nombres réels (« grandeurs mesurables » selon la terminologie de Bolzano). Bolzano commence par définir les « expressions numériques infinies » (utilisées par Euler) qu'on peut…
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CALCUL INFINITÉSIMAL - Calcul à une variable
Auteur :
Roger GODEMENT
Dans le chapitre "Notion de borne supérieure" : …
désignerons par R l'ensemble des nombres réels ; il nous suffira de savoir qu'un *nombre réel est un développement décimal illimité précédé d'un signe (qu'on omet s'il s'agit du signe +), par exemple le nombre − 3,141 5 9. ... ou bien le nombre 1 = 1,000 0.. ... = 0,999 99. ..., et que l'on peut effectuer sur ces nombres des…
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CANTOR GEORG (1845-1918)
Auteur :
Jean-Luc VERLEY
Dans le chapitre "La découverte des deux puissances" : …
et du continu ; il a donné, avec Dedekind qui suit une autre approche, sa forme définitive à la* théorie des nombres réels. En vue d'arithmétiser l'analyse, c'est-à-dire de dégager complètement la définition des nombres réels de la notion de limite, Cantor met en évidence le caractère « idéal » de la notion de nombre réel : un nombre…
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CANTOR : THÉORIE DES ENSEMBLES
Auteur :
Bernard PIRE
*Georg Cantor (1845-1918), professeur de mathématiques à l'université de Halle (Allemagne), publie en 1874 dans le Journal de Crelle l'article fondateur de la théorie des ensembles. Après quelques travaux en théorie des nombres et une rencontre décisive avec le mathématicien Richard Dedekind (1831-1916), Cantor s'…
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Bibliographie
N. Bourbaki, Topologie générale : chap. iv, « Nombres réels » et chap. ix, « Utilisation des nombres réels en topologie générale », Masson, Paris, nouv. éd. 1982
M. caveing, Zénon d'Élée. Prolégomènes aux doctrines du continu, Vrin, Paris, 1982
R. Dedekind, Les nombres, que sont-ils et à quoi servent-ils ?, Ornicar ?, Paris, 1979
J. Dhombres, Nombre, mesure et continu : épistémologie et histoire, Cedic
Nathan, Paris, 1978
A. Khinchin, Continued Fractions, University of Chicago Press, Chicago, 1964, rééd. Books on Demand, Ann Arbor (Mich.)
J.-L. Ovaert & J.-L. Verley, Analyse 1, Cedic
Nathan, Paris, 1983
J. Pichon, R et ses principales propriétés, Ellipses, Paris, 1986.
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