Au milieu du xxe siècle, le mathématicien et logicien Abraham Robinson (1918-1974) est parvenu à refonder la notion d'infinitésimale – de grandeur infiniment petite – dont Georg Cantor (1845-1918) et Richard Dedekind (1831-1916) étaient supposés avoir délivré la communauté mathématique. On était d'ailleurs reconnaissant à ces derniers d'un tel bannissement, parce que les deux siècles qui avaient précédé, au cours desquels la mathématique avait admis en son sein un calcul infinitésimal, avaient été en même temps deux siècles de gêne quant aux fondements : l'admission de grandeurs ou nombres infiniment petits mais non nuls donnait lieu à des contradictions.
De plus, Robinson a réussi à définir de façon rigoureuse de tels nombres en utilisant les techniques de la théorie des modèles, elle-même fortement liée à la théorie des ensembles mise en place par Cantor. Il faisait fond sur les « ensembles infinis » auxquels Cantor nous avait introduits et habitués pour réhabiliter les anciennes infinitésimales disqualifiées. Robinson a donné le nom d'analyse non standard à la nouvelle analyse infinitésimale.
Comme on pouvait le prévoir, cette découverte a relancé tout un ensemble de discussions : celles qui avaient porté, dans le passé, sur la consistance logique de la notion d'infinitésimale bien sûr, mais aussi la « grande » discussion sur la légitimité des totalités infinies qui avait accompagné l'instauration de la mathématique formelle ensembliste, où s'affrontèrent notamment Luitzen Brouwer (1881-1966) et David Hilbert (1862-1943).
Dans un premier temps, le sentiment qui prévalut fut que les méthodes de Robinson étaient « encore plus » infinitistes que celles habituellement utilisées à la suite de Georg Cantor, Ernst Zermelo (1871-1953), et Adolf Fraenkel (1891-1965) : que, pour obtenir les infinitésimaux, il fallait en substance faire tourner la machine infinitaire encore plus fort. Il semblait bien, en effet, que Robinson utilisait, pour construire ses élargissements (au sein desquels apparai […]
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