4. Nombres et analyse
• Rôle des fonctions
Le langage des proportions, qui fait intervenir quatre éléments ou grandeurs, n'est guère propice à l'idée fonctionnelle, c'est-à-dire à la correspondance entre un élément et un autre. Aussi, en dehors des tables numériques à deux entrées, constate-t-on l'absence de représentations graphiques des variations de phénomène physique. Si l'on connaît un manuscrit arabe du xie siècle représentant la variation de la latitude des planètes en fonction de leur longitude, c'est à Nicolas Oresme (1325-1382) que l'on doit une représentation des variations en latitude (notre ordonnée) et longitude (notre abscisse). C'est une étape essentielle dans la compréhension du champ numérique, car elle assimile un point sur une droite à une raison, et ce bien avant Bombelli ou Descartes. Cette assimilation n'est pas « naïve », en ce sens qu'elle n'évacue pas la théorie des proportions par simple transfert analogique des propriétés des nombres entiers aux fractions, puis aux raisons quelconques, comme ce fut le cas dans le développement de l'algèbre polynomiale. En outre, on ne peut pas assimiler cette démarche à une géométrisation : le concept fonctionnel porte au-delà.
Ainsi, Oresme définit une fonction affine (qualitas uniformiter difformis) au moyen d'une proportion qu'il exprime littéralement et que nous exprimerons en termes modernes, pour des points x1, x2, x3 distincts mais quelconques :
Oresme montre que la représentation graphique d'une telle fonction réalise un trapèze ABCD ; il souligne aussitôt qu'il y a équivalence entre cette représentation en trapèze et la définition d'une fonction affine. Il en déduit qu'un changement d'échelle, c'est-à-dire un changement d'unité, donc un changement des raisons générant les points x1, x2, x3 tout comme les points f(x1), f(x2
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