Théorie des nombres

Articles

ANNEAUX COMMUTATIFS

Écrit par :  Jean-Luc VERLEY

Dans le chapitre L'arithmétique élémentaire et les anneaux principauxUn anneau principal est un anneau d'intégrité dans lequel tout idéal est principal, c'est-à-dire formé des multiples d'un même élément, appelé générateur de l'idéal. L'étude de la divisibilité dans un tel anneau est analogue à la théorie arithmétique élémentaire des nombres entiers, qui en constitue d'ailleurs un cas particulier. ...  Lire la suite

ARITHMÉTIQUES (Diophante)

Écrit par :  Bernard PIRE

Diophante d'Alexandrie, parfois appelé le « père de l'algèbre », est connu par son ouvrage les Arithmétiques, qui traite des solutions des équations algébriques. On ne sait pratiquement rien de sa vie et ses dates de naissance et de mort sont très controversées. Les Arithmétiques sont une collection de solutions numériques de 130 ...  Lire la suite

CATALAN ÉQUATION DE

Écrit par :  Maurice MIGNOTTE

Dans une note publiée au Journal de Crelle en 1844, le Belge Eugène Catalan (1814-1894), alors répétiteur à l'École polytechnique, proposait l'énoncé suivant : « Il n'existe que deux nombres entiers consécutifs qui soient également des puissances parfaites, et ces deux nombres sont 8 et 9 ». L'expression algébrique de cette conjecture est ...  Lire la suite

DÉMONSTRATION DU GRAND THÉORÈME DE FERMAT (A. J. Wiles)

Écrit par :  Bernard PIRE

Dans un article intitulé « Courbes elliptiques modulaires et dernier théorème de Fermat », Andrew John Wiles (né en 1953) donne la première démonstration intégrale du grand théorème de Fermat. En 1630, Pierre de Fermat avait affirmé que l'équation xⁿ + yⁿ = zⁿ n'admet aucune solution enti ...  Lire la suite

DIOPHANTIENNES APPROXIMATIONS

Écrit par :  Marcel DAVID

La théorie des approximations diophantiennes concerne principalement l'approximation des irrationnels par des rationnels. Dans le cas d'un seul irrationnel, un rôle essentiel est joué par les fractions continuées (utilisées dès 1650 par Huygens pour le calcul des engrenages des horloges astronomiques).

L'approximation des irrationnels algé ...  Lire la suite

DIOPHANTIENNES ÉQUATIONS

Écrit par :  Jean-Louis COLLIOT-THÉLÈNE, Marcel DAVID, Universalis

Diophante d'Alexandrie, vers les années 250 de notre ère, fut le premier à rechercher systématiquement les solutions en nombres entiers, ou rationnels, d'une équation ou d'un système d'équations polynomiales à coefficients entiers. Bien que ce ne soit qu'avec Fermat (1601-1665) que les méthodes utilisées pour résoudre ces équations prirent un aspe ...  Lire la suite

DIVISIBILITÉ

Écrit par :  Marcel DAVID

L'étude élémentaire de la divisibilité dans l'anneau Z des entiers relatifs résulte de l'existence de la division euclidienne qui entraîne que cet anneau est principal. Les propriétés générales des anneaux principaux sont exposées dans l'article anneaux commutatifs, et nous nous contenterons ici d'énumérer les principaux ...  Lire la suite

FRIEDMAN NOMBRES DE

Écrit par :  Jean-Paul DELAHAYE

Proposés et étudiés il y a quelques années par Erich Friedman, les « nombres de Friedman » sont les nombres entiers qui s'écrivent avec les chiffres qui les composent en combinant les cinq opérations arithmétiques : addition (+), soustraction (–), multiplication (×), division (/) et élévation à la puissance (x^y). En voici quatr ...  Lire la suite

MERSENNE NOMBRES DE

Écrit par :  Jean-Marie PRUVOST-BEAURAIN

Un nombre de Mersenne est un nombre entier naturel de la forme 2ⁿ – 1, où n est un nombre entier naturel. Ces nombres ont été nommés ainsi en l'honneur du Français Marin Mersenne (1588-1648), qui en avait entrepris l'étude. Pour qu'un tel nombre, généralement noté Mn, soit premier (c'est-à- ...  Lire la suite

NOMBRE

Écrit par :  Jean-Marie PRUVOST-BEAURAIN

L'idée intuitive de nombre doit remonter à l'émergence même de la pensée et il est impossible de savoir quel hominidé, et quand, a commencé à compter (ses doigts, les personnes de son groupe, des animaux, les jours...), ou au moins à distinguer un de deux ou de plusieurs. Les nombres interviennent dans la plupart des activités humaines, des langag ...  Lire la suite

NOMBRES COMPLEXES

Écrit par :  Jean-Luc VERLEY

Introduits à l'origine comme symboles purement formels destinés à rendre compte des propriétés des équations algébriques, les nombres imaginaires sont d'un usage courant au xviii^e siècle, mais ce n'est qu'au siècle suivant qu'ils seront définis et utilisés correctement, avec la rigueur qui caractérise les préoccupations des mat ...  Lire la suite

NOMBRES (THÉORIE DES)

Écrit par :  Jean DIEUDONNÉ

Dans la plupart des civilisations parvenues au stade de l'écriture, les nombres entiers ont, dès l'origine, été liés à des pratiques religieuses ou magiques, et leurs propriétés ont exercé une sorte de fascination sur les esprits, qui est loin d'être disparue de nos jours, où la « numérologie » conserve des adeptes ; il n'est donc pas éto ...  Lire la suite

NOMBRES (THÉORIE DES) - Nombres algébriques

Écrit par :  Christian HOUZEL

Les mathématiciens grecs avaient découvert que certains rapports de grandeurs ne sont pas rationnels, c'est-à-dire qu'ils ne sont pas égaux au rapport de deux entiers : il en est ainsi du rapport de la diagonale d'un carré à son côté, puisque aucun nombre rationnel n'a un carré égal à 2. Plus généralement, Théétète (v^e s. avant ...  Lire la suite

NOMBRES (THÉORIE DES) - Nombres p-adiques

Écrit par :  Christian HOUZEL

On peut aborder l'étude d'un problème diophantien (cf. équations diophantiennes) en commençant par chercher les solutions modulo p, un nombre premier quelconque : on est alors devant un problème plus facile, car Z/pZ est un corps. Cette méthode ne donne qu'une information insuffisante pour le p ...  Lire la suite

NOMBRES (THÉORIE DES) - Théorie analytique

Écrit par :  Jean DIEUDONNÉ

Ce qu'on appelle la « théorie analytique des nombres » ne peut pas être considéré comme une théorie mathématique au sens usuel qu'on donne à ces mots, c'est-à-dire un système organisé de définitions et de théorèmes généraux accompagné d'applications à des exemples importants. Il s'agit au contraire ici presque exclusivement de problèmes particulie ...  Lire la suite

NOTATION MATHÉMATIQUE

Écrit par :  Hans FREUDENTHAL

Dans le chapitre L'arithmétique élémentaireEn dehors des plus primitives, toutes les langues connaissent un système de mots numéraux pour désigner les premiers nombres (en général jusqu'à 9) et des unités supérieures (en général quelques puissances de 10), avec lesquels on forme des noms pour d'autres nombres par des procédures qui doivent refléter l'addition et la multiplication. Notons c ...  Lire la suite

NUMÉRATION

Écrit par :  Josette ADDA

Le problème de la numération est celui de la désignation des nombres. Les nombres sont définis de manière intrinsèque, indépendamment de leur nom, et la façon de les désigner dépend du langage, du « code » choisi. Pour comprendre en quoi consiste la numération, il est important d'abord de savoir distinguer un nombre de ses représentations dans div ...  Lire la suite

RECHERCHES ARITHMÉTIQUES (C. F. Gauss)

Écrit par :  Bernard PIRE

Les Recherches arithmétiques (Disquisitiones arithmeticae) que Carl Friedrich Gauss (1777-1855) publie à Brunswick en 1801 marquent un progrès fondamental en théorie des nombres. Les quatre premières sections sont consacrées aux congruences et, selon la Préface même de l'auteur, contiennent peu de résultats originaux ; ils sont c ...  Lire la suite

RÉELS NOMBRES

Écrit par :  Jean DHOMBRES

Par les différents adjectifs généralement accolés au substantif commun qu'est le nombre, la langue mathématique familière surprend et inquiète, car elle risque de susciter des confusions : nombres rationnels (d'autres nombres seraient donc sans raison ?), nombres réels (des nombres doués d'existence propre ?), nombres algébriques (seuls susceptibl ...  Lire la suite

SHIMURA-TANIYAMA-WEIL CONJECTURE DE

Écrit par :  Christophe BREUIL

« Toute courbe elliptique sur ℚ est modulaire » : la conjecture de Shimura-Taniyama-Weil est devenue un théorème en 1999, mais l'appellation initiale est demeurée. Sa démonstration est due au mathématicien anglais Andrew Wiles et à ses continuateurs (cf. bibliographie : Wiles [1995] ; Taylor et Wiles [1995] ; Diamond [1996] ; Conrad, Diamond et Ta ...  Lire la suite

TRANSCENDANTS NOMBRES

Écrit par :  Jean DIEUDONNÉ

Si la notion de nombre irrationnel remonte aux Grecs, l'idée de nombre transcendant n'a pu se dégager qu'après la création de notations algébriques assez développées pour que le concept de polynôme de degré quelconque puisse être clairement formulé ; aussi est-ce seulement au xvii^e siècle que l'on commence à faire la distinctio ...  Lire la suite

ZÊTA FONCTION

Écrit par :  Jean DIEUDONNÉ

Issues d'un calcul formel d'Euler, la « fonction zêta » de Riemann et les « fonctions L » de Dirichlet ont été jusqu'ici les outils analytiques les plus puissants pour étudier la répartition et les propriétés des nombres premiers (cf. théorie desnombres - Théorie analytique des nombres). Mais ces fonctions sont elles-mêmes devenues l'obje ...  Lire la suite