2. Les nombres comme solutions d'équations
• Numérisation des raisons
Dans La mesure du cercle d'Archimède, nous avons déjà noté des approximations de raisons non rationnelles par des rapports rationnels. Ainsi √a2 + b est-il approximé par a + (b/2a) (méthode dite de Héron, mais en fait beaucoup plus ancienne) ou par a + (b/(2a + 1)). Dans le développement de ce type d'approximations, porteur de tout un courant numéricien, la géométrie et la théorie des proportions sont souvent requises à titre de justification ou d'illustration, mais on sent aussi la vigueur d'un courant de nature algébrique, traitant les opérations sur les nombres entiers ou rationnels comme un but en soi. Un vocabulaire particulier en résulte, qui parle par exemple d'additionner une circonférence à un diamètre, c'est-à-dire assimile pour le calcul une raison à un nombre, ou plutôt numérise le domaine des raisons.
Chez Diophante, ce langage est porté par un symbolisme notationnel qui est le rudiment des futures notations algébriques. Diophante insiste sur la résolution d'équations indéterminées du type :
On trouve une attitude semblable chez les mathématiciens indiens ou arabes, avec quelquefois des remords de conscience, comme chez Omar Khayyam (1048-1122), et des retours à la stricte obédience euclidienne. Partant les méthodes algébriques se systématisent, de pair avec les approximations numériques. Les mathématiciens chinois, sur lesquels l'influence euclidienne est virtuellement nulle, ont un traite […]
… pour nos abonnés, l'article se prolonge sur 22 pages…
