7. Rôle des nombres réels
Dans la vie quotidienne, l'ensemble R des nombres réels est le modèle auquel se rapporte toute mesure : une mesure par rapport à une unité de mesure choisie se traduit par un nombre réel.
Du point de vue mathématique, l'intérêt de l'ensemble des nombres réels est sa richesse, par profusion de structures imbriquées. Depuis la fin du xixe siècle, et tout au long du xxe, les mathématiciens ont isolé des propriétés spécifiques de R leur permettant de définir et d'étudier des espaces abstraits satisfaisant ces seules propriétés.
D'abord, il y a la structure additive, qui conduit à la notion de groupe abélien, puis d'espace vectoriel réel, point de départ de l'algèbre linéaire. On définit aisément R2, R3 et Rn comme espaces vectoriels et ces espaces constituent le cadre idéal de la géométrie classique. Ainsi, on peut déduire toute la géométrie euclidienne de la construction de R et donc de l'ensemble des entiers naturels et de la théorie des ensembles (arithmétisation de la géométrie, cf. géométrie).
Du point de vue de la théorie des ensembles, il y a la richesse de R en éléments. Cantor a montré que R est beaucoup plus « grand » que le corps Q des nombres rationnels (cf. supra et nombres transcendants, chap. 1) : l'ensemble R a un cardinal non dénombrable, alors que Q est dénombrable. Le problème se pose aussitôt de savoir s'il existe un sous-ensemble E de R dont le cardinal soit strictement contenu entre le dénombrable et le cardinal de R, appelé puissance du continu. Cette question, qui tracassera Cantor toute sa vie a été résolue par P. J. Cohen en 1962 ; c'est un des résultats les plus brillants de la logique mathématique de l'après-guerre. Cohen a démontré que, sur la seule base de la théorie des ensembles, ce problème est indécidable ; autrement dit, il n'est pas contradictoire avec la théorie des ensembles d'admettre l'existence d'un tel ensemble E, mais il n'est pas contradictoire non plus d'en refuser l'existence. Cette démonstration a donné naissance à toute une série de rés […]
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