Pendant des millénaires les objets mathématiques ont été considérés comme ayant une existence propre. Depuis la fin du xixe siècle et surtout le début du xxe, on a mis au point une méthode axiomatique consistant à tout reprendre afin de donner une base solide à la mathématique à partir du très strict nécessaire. Après de nombreuses crises, on en est arrivé à bâtir cette science sur le socle de la théorie des ensembles, elle-même axiomatisée (par exemple par les systèmes de Zermelo-Fraenkel ou Gödel-von Neumann). Aujourd'hui, tout objet mathématique est (ou plus exactement peut être représenté comme) un ensemble, même si sa genèse résulte souvent d'une chaîne compliquée. Par exemple, une application f d'un ensemble E dans un ensemble F peut être considérée comme un triplet (E, F, G) où G, le graphe de f, est une partie du produit cartésien × [c'est-à-dire des couples (x, y) où x décrit E et y décrit F, un couple (x, y) étant lui-même l'ensemble {{x}, {x, y}}, où {x} représente l'ensemble dont le seul élément est x, et un triplet (a, b, c) étant le couple ((a, b), c), donc un ensemble] telle que, pour tout élément x de E, il existe un y et un seul de F tel que (x, y) appartienne à f ; cet y sera naturellement noté en abrégé y = f(x).
La théorie des ensembles permet, d'après John von Neumann (1903-1957), de construire les objets mathématiques rudimentaires suivants : Ø (le vide), encore noté 0, et, pour tout ensemble x, son « successeur » x+ = x∪{x}. À partir de là, on peut imaginer une suite de successeurs bâtis à partir de 0 de la manière suivante : 1 = 0+ = Ø∪{Ø} = {Ø} = {0}, 2 = 1+ = 1∪{1} = {0}∪{1} = {0,1}, 3 = 2+ = 2∪{2} = {0, 1, 2} et ainsi de suite. Revenant aux notions ensemblistes de base, on peut montrer, de manière fastidieuse, que tous les objets ainsi construits peuvent s'exprimer en fonction du vide et des accolades { et } ; par exemple, ce que nous notons 4 peut s'écrire sous la forme 4={Ø, {Ø},{Ø, {Ø}},{Ø, {Ø},{Ø, {Ø}}}}.
Les axiomes de la théorie des ensembles perme […]
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