6. Axiomatisation et conséquences
• L'axiomatisation de Hilbert
Une fois bien notée la propriété de complétion comme une propriété maximale (soit sous la forme de la borne supérieure comme chez Dedekind, soit sous la forme de la convergence des suites de Cauchy comme chez Cantor), Hilbert propose une approche axiomatique des nombres réels. Il introduit une famille de nombres, notés x, y ,... de sorte que cette famille constitue :
(a) un corps commutatif pour les deux lois +, .,
(b) un corps totalement ordonné,
(c) un groupe ordonné archimédien pour la loi +, c'est-à-dire : quels que soient x > 0 et y > 0, il existe au moins un entier naturel n tel que :
(d) un système qu'il ne soit pas possible d'agrandir en lui rajoutant des éléments de manière à obtenir un système vérifiant encore (a), (b) et (c).
Il n'est pas difficile de montrer, en utilisant (d), que, si un tel système existe, il est unique à un isomorphisme près, cette dernière expression signifiant que, si deux tels systèmes S1 et S2 sont donnés, il existe une bijection S1 → S2 qui est un homomorphisme de corps totalement ordonnés ; S1 et S2 sont donc structurellement isomorphes. On aura donc loisir d'appeler ensemble des nombres réels tout système satisfaisant (a), (b), (c), (d).
Cependant, l'existence d'un tel système n'est pas évidente. Elle peut résulter des constructions précédentes de Cantor et Dedekind (ou d'autres constructions) comme nous allons le montrer. Toutefois la démarche de Hilbert était tout autre. Il s'agissait d'établir que les quatre conditions (a), (b), (c), (d) ne sont pas contradictoires, la non-contradiction d'une famille d'axiomes, pour autant qu'elle soit démontrée, assurant, selon le point de vue de Hilbert, l'existence d'un système d'objets satisfaisant les axiomes (cf. axiomatique et hilbert).
Passons maintenant à la démonstration de l'équivalence des constructions de Cantor et Dedekind et montrons qu'elles vérifient les quatre propriétés énoncées par Hilbert.
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