5. Construction de l'ensemble des nombres réels
Le critère de convergence d'une suite énoncé par Cauchy, comme le théorème des valeurs intermédiaires « prouvé » par Bolzano firent vite partie de la panoplie de travail de tout analyste. Mais ces théorèmes semblaient entachés de géométrisme, dérivant de la théorie des proportions que Descartes avait rattachée à la géométrie. Or, après la découverte des géométries non euclidiennes par Lobatchevski (1829), Bolyai (1832) et Riemann (1854), le géométrisme avait mauvaise presse.
• Dedekind et l'ordre
L'approche de R. Dedekind est un retour à l'esprit de la construction eudoxienne. Eudoxe avait construit le modèle des raisons à partir seulement des grandeurs (le continu) et des entiers (le discret). Il utilisait à cet effet l'ordre comme règle d'extension (les raisons sont totalement ordonnées, comme les entiers ou les grandeurs). Dans Stetigkeit und irrationale Zahlen (1872), Dedekind construit les nombres réels à partir des rapports d'entiers – les nombres rationnels – en utilisant l'ordre comme règle à compléter. Voici en quoi consiste cette démarche.
Considérons avec Dedekind l'ensemble C de tous les nombres rationnels positifs x tels que x2 ≥ 2. Il est clair que C est un ensemble minoré, c'est-à-dire : il existe un rationnel r, par exemple r = 1, tel que, pour x ∈ C on ait x ≥ r. Si r′ est un autre rationnel positif tel que r′ < r, c'est encore un minorant de C. Existe-t-il, parmi les rationnels, un plus grand minorant, à savoir une borne inférieure de C ? La réponse est négative.
En effet, il suffit d'établir qu'une telle borne inférieure, disons m, si elle existait, vérifierait m2 = 2, équation impossible dans les nombres rationnels. Comme pour la méthode d'exhaustion, il convient, pour établir cette égalité, de raisonner par l'absurde. Supposons d'abord m2 > 2. Puisque m > 0, cherchons un rationnel y tel que y > 0, m > y et (m − y)2
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