HASARD

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Le hasard et la stratégie

La théorie des jeux

Jusqu'ici, le hasard est apparu comme étroitement lié aux aléas extérieurs, qu'on peut ranger, schématiquement, en deux classes : l'incertitude relative aux événements naturels ou non intentionnels et l'incertitude qui résulte de l'impossibilité de prévoir la conduite d'autrui. Les jeux fournissent une illustration très simple de ces deux cas : dans une loterie, le résultat dépend du mouvement d'une roue, dont on ne peut prévoir quand elle s'arrêtera ; dans un jeu de société, le résultat dépend de ce que font les joueurs. Prenons les jeux de stratégie les plus simples, où il n'y a que deux joueurs, où les gains de l'un égalent en valeur absolue les pertes de l'autre et où chaque joueur dispose d'un nombre fini de tactiques élémentaires. On peut symboliser les résultats de tels jeux, qu'on appelle jeux à deux personnes et à somme nulle, ou encore duels, au moyen d'une matrice de paiements. Si chacun des joueurs n'a le choix qu'entre deux tactiques, on écrira dans les cases du carré les gains du premier, les pertes du second étant égales et de sens contraire. Au début du xviiie siècle, des mathématiciens comme Montmort, Waldegrave et Bernoulli commencèrent à s'intéresser à la logique de ces jeux, c'est-à-dire aux calculs auxquels chacun des joueurs devait se livrer pour optimiser son gain ou réduire ses pertes. Ils remarquèrent, ce que tous les joueurs savent, qu'il fallait observer simultanément deux règles : deviner l'adversaire et rester imprévisible à ses yeux. Or, pour ne pas être deviné par l'adversaire, le plus sûr moyen est de jouer au hasard, c'est-à-dire en tirant au sort le choix de ses tactiques élémentaires. L'analyse des jeux de société ou de stratégie conduisait donc à ne plus considérer le hasard comme un ennemi de la rationalité, dont il convient de réduire l'importance, mais comme l'allié de la raison, quand il faut décider en face d'un adversaire intelligent. Ce problème fut clairement formulé au début du xviiie siècle, il fut même traité mathématiquement sur un cas particulier par Waldegrave en 1712, mais il fallut attendre les années 1920-1930 (travaux d'Émile Borel et surtout de Johann von Neumann) pour que le théorème général de l'équilibre dans le duel fût démontré. Ce théorème aboutit à un résultat remarquable : il montre que, dans les jeux à deux personnes et à somme nulle, il est possible en droit de substituer à la ruse, c'est-à-dire à la tentative pour deviner psychologiquement ce que va faire l'adversaire tout en le trompant sur ses propres intentions, un calcul mathématique qui indique selon quelles proportions mélanger au hasard ses tactiques élémentaires. Le hasard mathématisé devient alors un élément fondamental du calcul stratégique. Bien plus, le théorème du minimax montre que le joueur qui a calculé sa stratégie mixte optimale (le meilleur mélange de ses tactiques élémentaires tirées au hasard) s'affranchit du même coup des aléas extérieurs, en ce sens qu'il détermine cette stratégie optimale de telle façon qu'il n'a plus besoin de se régler sur les choix de son adversaire et de varier ses tactiques en l'observant.

Le théorème du minimax

Un exemple fera comprendre ces affirmations qui peuvent sembler obscures ou paradoxales. Soient deux joueurs, Pierre et Paul, qui disposent de deux tactiques élémentaires. Comme il s'agit d'un duel, que les gains de Pierre sont égaux aux pertes de Paul et de sens contraire, on peut représenter les résultats du jeu, pour chaque combinaison de tactiques, par la matrice des gains de Pierre. Le tableau carré signifie que si Pierre, par exemple, choisit la tactique 1 et Paul la tactique 2, les gains du premier seront de 6 et les pertes du second − 6.

Matrice de gains

Tableau : Matrice de gains

 

Crédits : Encyclopædia Universalis France

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On voit bien que, dans l'exemple choisi, ni Pierre ni Paul ne peuvent se tenir fermement à une tactique. En effet, si Pierre utilise 2, Paul va choisir 2 pour réduire les gains de Pierre. Celui-ci va riposter au choix de Paul en adoptant 1, pour gagner 6. Voyant cela, Paul retourne à la tactique 1, qui ne donnera à Pierre qu'un gain de 1, et ainsi de suite. On exprime cet état de choses en disant que le jeu n'a pas de point d'équilibre.

On va chercher alors si un mélange judicieux des deux tactiques élémentaires n'améliorerait pas les espérances de gain de chacun des joueurs. Autrement dit, on substitue au jeu primitif, qu'on était censé jouer en un coup, un jeu nouveau qui comporte e [...]

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Pour citer l’article

Bertrand SAINT-SERNIN, « HASARD », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 13 août 2022. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/hasard/