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FONCTIONS ANALYTIQUES Fonctions de plusieurs variables complexes

La notion de fonction holomorphe de plusieurs variables complexes est aussi ancienne que l'analyse complexe. Les problèmes les plus simples, qui font intervenir des relations algébriques ou analytiques ou des équations différentielles, introduisent nécessairement ces fonctions. Mais, à part quelques faits élémentaires, pendant très longtemps on ne connut presque rien de la théorie générale ; ce n'est qu'au xxe siècle, et surtout depuis 1950, que les résultats essentiels ont été obtenus, et la théorie est toujours en plein développement.

Dans l'étude classique de la théorie des fonctions d'une variable complexe, on considère : l'intégrale de Cauchy, la théorie des résidus, le prolongement analytique, les théorèmes de Weierstrass et de Mittag-Leffler. Dans une étude plus approfondie, on s'intéresse ensuite à la théorie des fonctions algébriques, des fonctions automorphes, etc. On examinera ici tous ces thèmes pour les fonctions de plusieurs variables ; partant du problème des domaines d'holomorphie, on donnera ensuite quelques indications sur les variétés de Stein et sur les espaces analytiques.

Premières propriétés

Nous désignerons par Cn l'espace vectoriel des suites de n nombres complexes et par z, ou (z1, z2, ..., zn), le point générique de cet espace.

Si α = (α1, α2, ..., αn) est une suite d'entiers positifs, on pose :

de même, on adoptera le symbole suivant pour les dérivées partielles :

Si A = (A1, A2, ..., An) est une suite de nombres réels positifs, on appelle polydisque ouvert |z| < A le sous-ensemble de Cn défini par la suite d'inégalités :

de même, le polydisque fermé correspondant |z| ≤ A est le sous-ensemble de Cn défini par :

On dit qu'une fonction f définie dans un polydisque ouvert |z| < A et à valeurs complexes est holomorphe, dans ce polydisque s'il existe une suite de nombres complexes aα, dépendant de l'indice α = (α1, α2, ..., αn) ∈ Nn, tel que, pour tout point z du polydisque, la série :

soit absolument convergente, de somme f (z). On peut alors montrer que les dérivées partielles de f (par rapport aux variables complexes z1, ..., zn) existent en tout point du polydisque et que :
on a donc :
formule qui, grâce aux notations introduites, rappelle la classique formule de Taylor.

On peut donner une autre définition équivalente à la précédente. La fonction f à valeurs complexes définie dans un polydisque |z| < A est holomorphe si elle est différentiable au sens réel, c'est-à-dire au sens des 2n variables réelles x1, y2, x2, y2, ..., xn, yn, et si elle satisfait au système d'équations aux dérivées partielles :

ce système est appelé système de Cauchy-Riemann. On peut l'écrire sous la forme condensée ∂−f = 0, en posant :
avec les notations :

Soit Ω un ouvert de Cn, c'est-à-dire un sous-ensemble de Cn tel que, pour tout point z0 ∈ Ω, il existe un polydisque ouvert |z − z0| < A = A(z0) non vide inclus dans Ω. Une fonction f définie dans Ω et à valeurs complexes est dite holomorphe dans Ω si, pour tout point z0 ∈ Ω, il existe un polydisque ouvert non vide |z − z0| < B(z0) inclus dans Ω tel que la restriction de f à ce polydisque soit holomorphe au sens ci-dessus. Il résulte de cette définition que la notion d'holomorphie – c'est-à-dire le fait d'être holomorphe – pour une fonction est de nature locale, ce qui veut dire que, si f est définie dans un ouvert Ω réunion d'une famille d'ouverts Ωi et si la restriction de f à chaque Ωi est holomorphe, alors f est holomorphe dans Ω.

On peut aussi définir plus généralement la notion d'application holomorphe d'un ouvert Ω de Cn dans un espace Cm : c'est la donnée de m fonctions f 1, f 2, ..., f m à valeurs complexes définies et holomorphes[...]

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Écrit par

  • : professeur à la faculté des sciences de Nice
  • : professeur à l'université de Paris-VI, directeur d'études à l'Ecole pratique des hautes études

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. In Encyclopædia Universalis []. Disponible sur : (consulté le )

Autres références

  • FONCTIONS ANALYTIQUES (A.-L. Cauchy)

    • Écrit par Bernard PIRE
    • 181 mots

    Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) a écrit 789 notes qui furent publiées pour la plupart aux Comptes rendus de l'Académie des sciences. Parmi les nombreux résultats importants qu’il a démontrés, ceux qui concernent les fonctions d'une variable complexe ont marqué un tournant décisif dans l'histoire...

  • PRIX ABEL 2016

    • Écrit par Yves GAUTIER
    • 1 168 mots
    • 2 médias
    Pour ce qui est des formes modulaires, on peut dire très schématiquement que ce sont des fonctions analytiques qui respectent certaines conditions exprimées par certaines équations fonctionnelles – un exemple étant f[(az + b)/(cz + d)] = (cz + d)2 f(z) pour tout z complexe ; a, b, c et d étant...

  • ANALYSE MATHÉMATIQUE

    • Écrit par Jean DIEUDONNÉ
    • 8 527 mots
    ...exemple pour la fonction égale à exp (− 1/x2) pour x ≠ 0 et à 0 pour x = 0, en prenant x0 = 0). Il y a donc lieu de faire l'étude des fonctions, dites analytiques, qui, au voisinage de chaque point x0 où elles sont définies, sont égales à leur série de Taylor en ce point. On savait depuis...

  • ANNEAUX & ALGÈBRES

    • Écrit par Jean-Luc VERLEY
    • 5 036 mots
    • 1 média
    ...fonctions analytiques à l'origine O du plan complexe. Considérons les couples (U, f ) d'un voisinage ouvert de O dans le plan complexe et d'une fonction f définie et analytique dans U. Nous dirons que deux tels couples (U, f ) et (V, g) définissent le même germe à l'origine si f et ...

  • ASYMPTOTIQUES CALCULS

    • Écrit par Jean-Louis OVAERT, Jean-Luc VERLEY
    • 6 250 mots
    • 1 média
    ...) = etReh(x+iy), appelé le relief de eth(z). Cette surface ne présente pas de « sommet » relatif, d'après le principe du maximum pour les fonctions analytiques, et, par suite, les seuls points où le plan tangent est horizontal (ce sont les points où la dérivée h′(z) s'annule), sont...
  • Afficher les 20 références

Voir aussi

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