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FONCTIONS ANALYTIQUES Fonctions de plusieurs variables complexes

La théorie de Cartan-Serre

En 1951, Henri Cartan et Jean-Pierre Serre ont introduit la notion de variété de Stein. Ce sont les variétés analytiques complexes V qui possèdent les propriétés suivantes :

a) si, pour tout compact K ⊂ V, on désigne par K̂ l'ensemble des points ∈ V tels que :

pour toute fonction f holomorphe sur V, alors K̂ est compact ;

b) si x et y sont deux points distincts de V, il existe une fonction f holomorphe sur V qui sépare x et y, c'est-à-dire telle que :

c) pour tout point z∈ V il existe des coordonnées locales données par des fonctions holomorphes dans V tout entier, c'est-à-dire qu'il existe un voisinage de z0 et des fonctions f 1, f 2, ..., f n holomorphes dans V, telles que ↦ (f 1(z), f 2(z), ..., f n(z)) soit un isomorphisme analytique de ce voisinage sur un ouvert de l'espace Cn.

H. Cartan et J.-P. Serre ont montré que les principales propriétés des domaines d'holomorphie s'étendaient aux variétés de Stein et ils ont mis la plupart des propriétés de passage du local au global sous forme cohomologique ; ce sont les fameux théorèmes A et B de H. Cartan.

À leur suite, Frenkel, dans un cas particulier, puis Grauert, dans le cas général, ont établi la validité du « principe d'Oka » dans un cadre étendu.

Après Cartan-Serre, la théorie des espaces analytiques a été intensivement développée (Remmert, Grauert, Grothendieck) ; l'étude locale et l'étude du comportement des morphismes sont très importantes et on peut définir les analogues des variétés de Stein.

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Écrit par

  • : professeur à la faculté des sciences de Nice
  • : professeur à l'université de Paris-VI, directeur d'études à l'Ecole pratique des hautes études

Classification

Pour citer cet article

André MARTINEAU et Henri SKODA. FONCTIONS ANALYTIQUES - Fonctions de plusieurs variables complexes [en ligne]. In Encyclopædia Universalis. Disponible sur : (consulté le )

Article mis en ligne le et modifié le 14/03/2009

Autres références

  • FONCTIONS ANALYTIQUES (A.-L. Cauchy)

    • Écrit par
    • 269 mots

    Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) est un mathématicien français prolifique, auteur de 789 notes qui furent publiées pour la plupart aux Comptes rendus de l'Académie des sciences. Parmi les nombreux résultats importants qu’il a démontrés, ceux qui concernent les fonctions d'une variable...

  • PRIX ABEL 2016

    • Écrit par
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    • 2 médias
    Pour ce qui est des formes modulaires, on peut dire très schématiquement que ce sont des fonctions analytiques qui respectent certaines conditions exprimées par certaines équations fonctionnelles – un exemple étant f[(az + b)/(cz + d)] = (cz + d)2 f(z) pour tout z complexe ; a, b, c et d étant...
  • ANALYSE MATHÉMATIQUE

    • Écrit par
    • 8 527 mots
    ...exemple pour la fonction égale à exp (− 1/x2) pour x ≠ 0 et à 0 pour x = 0, en prenant x0 = 0). Il y a donc lieu de faire l'étude des fonctions, dites analytiques, qui, au voisinage de chaque point x0 où elles sont définies, sont égales à leur série de Taylor en ce point. On savait depuis...
  • ANNEAUX & ALGÈBRES

    • Écrit par
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    ...fonctions analytiques à l'origine O du plan complexe. Considérons les couples (U, f ) d'un voisinage ouvert de O dans le plan complexe et d'une fonction f définie et analytique dans U. Nous dirons que deux tels couples (U, f ) et (V, g) définissent le même germe à l'origine si f et ...
  • ASYMPTOTIQUES CALCULS

    • Écrit par et
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    • 1 média
    ...) = etReh(x+iy), appelé le relief de eth(z). Cette surface ne présente pas de « sommet » relatif, d'après le principe du maximum pour les fonctions analytiques, et, par suite, les seuls points où le plan tangent est horizontal (ce sont les points où la dérivée h′(z) s'annule), sont...
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