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FONCTIONS ANALYTIQUES Fonctions de plusieurs variables complexes

La d″-cohomologie

Dans un certain nombre de cas particuliers, problème de Cousin par exemple, le passage du local au global se ramène au problème de calcul intégral développé par Dolbeault.

Considérons ici seulement le cas d'un ouvert de Cn. On prend comme base de l'espace des différentielles :

pour j = 1, 2, ..., n ; les opérateurs du premier ordre associés à cette base sont :
pour j = 1, 2, ..., n.

L'opérateur d de différenciation extérieure est somme de deux opérateurs, d = d′ + d″, où :

en désignant par ∧ l'opération du produit extérieur. Une forme différentielle de degré n est alors dite de type (p, q), p + q = n, si, écrite par rapport à la base des dzj, dz̄k, elle est de degré p en dz et de degré q en dz̄. On peut énoncer ainsi le théorème de Dolbeault (nous supposerons que les formes considérées sont à coefficients « très dérivables »). Soit Ω un domaine d'holomorphie et ω une forme de type (p, q) dans Ω ; une condition nécessaire et suffisante pour qu'il existe une forme Π de type (p, q − 1) telle que :
est que, supposant ≥ 1,

On doit ces dernières années à Hörmander la démonstration directe de ce résultat par des méthodes d'espace de Hilbert qui permettent, de plus, d'estimer la croissance des coefficients de la forme différentielle π en fonction de ceux de ω (cohomologie à croissance). Ces résultats permettent d'abréger beaucoup la démonstration du théorème de pseudo-convexité d'Oka (cf. chap. 4).

La théorie des fonctions de variables complexes, au même titre que l'arithmétique par exemple, est centrale dans la mathématique, et les problèmes qu'elle est amenée à considérer sont, en un certain sens, irréductibles. Mais les structures qui interviennent sont très compliquées, car on considère à chaque instant des couches superposées de structures algébriques et topologiques mélangées.

C'est sans doute dans une telle situation que l'unité de langage introduite par N. Bourbaki manifeste son importance car, grâce à elle, les branches les plus diverses des mathématiques contemporaines ont contribué à l'édification de la théorie. Inversement, ses progrès ont été déterminants dans l'évolution des idées contemporaines ; ainsi, c'est après sa greffe réussie sur les variables complexes que la théorie des faisceaux est devenue un outil aussi général et indispensable. Mais cette histoire n'est pas finie...

— André MARTINEAU

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Écrit par

  • : professeur à la faculté des sciences de Nice
  • : professeur à l'université de Paris-VI, directeur d'études à l'Ecole pratique des hautes études

Classification

Pour citer cet article

André MARTINEAU et Henri SKODA. FONCTIONS ANALYTIQUES - Fonctions de plusieurs variables complexes [en ligne]. In Encyclopædia Universalis. Disponible sur : (consulté le )

Article mis en ligne le et modifié le 14/03/2009

Autres références

  • FONCTIONS ANALYTIQUES (A.-L. Cauchy)

    • Écrit par
    • 269 mots

    Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) est un mathématicien français prolifique, auteur de 789 notes qui furent publiées pour la plupart aux Comptes rendus de l'Académie des sciences. Parmi les nombreux résultats importants qu’il a démontrés, ceux qui concernent les fonctions d'une variable...

  • PRIX ABEL 2016

    • Écrit par
    • 1 168 mots
    • 2 médias
    Pour ce qui est des formes modulaires, on peut dire très schématiquement que ce sont des fonctions analytiques qui respectent certaines conditions exprimées par certaines équations fonctionnelles – un exemple étant f[(az + b)/(cz + d)] = (cz + d)2 f(z) pour tout z complexe ; a, b, c et d étant...
  • ANALYSE MATHÉMATIQUE

    • Écrit par
    • 8 527 mots
    ...exemple pour la fonction égale à exp (− 1/x2) pour x ≠ 0 et à 0 pour x = 0, en prenant x0 = 0). Il y a donc lieu de faire l'étude des fonctions, dites analytiques, qui, au voisinage de chaque point x0 où elles sont définies, sont égales à leur série de Taylor en ce point. On savait depuis...
  • ANNEAUX & ALGÈBRES

    • Écrit par
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    ...fonctions analytiques à l'origine O du plan complexe. Considérons les couples (U, f ) d'un voisinage ouvert de O dans le plan complexe et d'une fonction f définie et analytique dans U. Nous dirons que deux tels couples (U, f ) et (V, g) définissent le même germe à l'origine si f et ...
  • ASYMPTOTIQUES CALCULS

    • Écrit par et
    • 6 250 mots
    • 1 média
    ...) = etReh(x+iy), appelé le relief de eth(z). Cette surface ne présente pas de « sommet » relatif, d'après le principe du maximum pour les fonctions analytiques, et, par suite, les seuls points où le plan tangent est horizontal (ce sont les points où la dérivée h′(z) s'annule), sont...
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