FONCTIONS ANALYTIQUESFonctions de plusieurs variables complexes

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Représentations intégrales

Si f est une fonction holomorphe dans un ouvert Ω de Cn contenant un produit U× U×  ... × Un d'ouverts de C de frontières régulières orientées γ1, γ2, ..., γn, alors, pour tout z = (z1, z2, ..., zn), z∈ Uk, pour k = 1, 2, ..., n, on a la représentation intégrale de Cauchy :

malheureusement, la fonction f est exprimée à partir de ses valeurs sur l'ensemble produit γ× γ× ... × γn, et une hypersurface aussi simple qu'une sphère par exemple n'est pas un ensemble produit. On a donc cherché des représentations intégrales qui étendent l'intégrale de Cauchy et s'appliquent à des cas plus généraux : citons les intégrales de Cauchy-Weil, de Martinelli, de Hua-Bergman, de Cauchy-Fantappié-Leray.

L'intégrale introduite par André Weil en 1932 a joué un rôle important dans l'évolution de la théorie. Nous allons la décrire dans le cas de deux variables complexes, en passant sur les difficultés. On appelle polyèdre analytique une partie compacte d'un ouvert ω de C2 définie par un nombre fini d'inégalités :

où les j sont des fonctions holomorphes dans ω. On peut alors montrer qu'il existe des fonctions D1,j(z, u), et D2,j(z, u), définies dans un ensemble ouvert ω × ω′, où ω′ est un ouvert de C2 contenant K et contenu dans ω, telles que :

Soit maintenant Si,j la partie de la frontière de K formée des points z tels que |i(z)| = 1 et |j(z)| = 1 ; on oriente Si,j d'une manière adéquate que l'on ne décrira pas ici. Si f est une fonction holomorphe dans ω, on a alors la formule :

pour tout point z intérieur à K. La validité de cette formule est très délicate à établir, parce qu'il faut montrer l'existence des fonctions D1,j et D2,j et que les surfaces Si,j ne sont pas régulières en général.

Décrivons maintenant l'intégrale de Leray, qui est particulièrement bien adaptée à l'étude de la transformation de Laplace. L'idée est de remplacer les points par des hyperplans. Soit K un ensemble convexe avec point intérieur. En tout point de la frontière de K, définissons un hyperp [...]

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Écrit par :

  • : professeur à la faculté des sciences de Nice
  • : professeur à l'université de Paris-VI, directeur d'études à l'Ecole pratique des hautes études

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Pour citer l’article

André MARTINEAU, Henri SKODA, « FONCTIONS ANALYTIQUES - Fonctions de plusieurs variables complexes », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 23 octobre 2021. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/fonctions-analytiques-fonctions-de-plusieurs-variables-complexes/