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FONCTIONS ANALYTIQUES Fonctions de plusieurs variables complexes

Autres développements

Depuis 1970, la théorie des fonctions analytiques de plusieurs variables a continué à se développer très rapidement. La géométrie analytique du type de celle qui fut introduite par H. Cartan et J.-P. Serre, fondée sur la théorie des faisceaux et l'algèbre homologique, a poursuivi son essor rapide avec en particulier la théorie des déformations d'espaces analytiques (O. Forster et Kuranishi) et celle des systèmes différentiels holomorphes Kawai, Kashiwara, Schapira.

Néanmoins, le fait le plus nouveau et le plus marquant est sans aucun doute l'importance prise dans le domaine des fonctions de plusieurs variables par l'analyse complexe fine à plusieurs variables à la suite des travaux de L. Hörmander sur la d″-cohomologie à croissance et de ceux de G. M. Henkin, I. Lieb et H. Grauert sur la d″-cohomologie bornée. Nous allons parler essentiellement de cet aspect nouveau et nous nous limiterons en ce qui concerne le premier aspect à l'exposé du problème de J.-P. Serre.

Le problème de J.-P. Serre en géométrie analytique

Soit X un espace fibré de base B, de fibre F, ce qui signifie qu'il existe une application π holomorphe de X sur B et que, pour tout point b ∈ B, il existe un voisinage ouvert ω de b et un isomorphisme ϕ de π-1(ω) sur ω × F tel que le diagramme suivant soit commutatif :

Si (ω1, ϕ1), (ω2, ϕ2) sont deux telles trivialisations du fibré, ϕ2 ∘ ϕ1−1 restreinte à {b} × F définit un automorphisme de la fibre F, appelé automorphisme de transition.

Le problème de J.-P. Serre est alors le suivant : si B et F sont des espaces de Stein, l'espace total X du fibré est-il de Stein ? La réponse est positive dans un grand nombre de cas particuliers, lorsque la fibre est une variété de dimension 1, lorsque la fibre est un ouvert de Stein, borné, de Cn dont le groupe H1 (F, C) est nul (Y. T. Siu), lorsque la fibre est hyperconvexe, c'est-à-dire lorsqu'il existe sur F une fonction ϕ plurisousharmonique, telle que ϕ < 0 et telle que les ensembles {z ∈ F ; ϕ (z) < c} soient relativement compacts pour c < 0 (J.-L. Stehlé). On montre qu'un ouvert borné, de Stein, de Cn à frontière de classe C1 est hyperconvexe. Dans la plupart des cas, la méthode consiste à montrer qu'il existe sur F une fonction plurisousharmonique ψ exhaustive (i.e. les ensembles {z ∈ F ; ψ(z) < c} sont relativement compacts) variant peu sous l'action des automorphismes de transition du fibré. On en déduit alors l'existence d'une fonction χ strictement plurisousharmonique, continue, exhaustive sur X.

Un théorème de H. Grauert permet d'en conclure que X est de Stein.

En revanche, nous avons montré que la réponse au problème de Serre est négative lorsque la fibre est C2. Fort curieusement, le contre-exemple est étroitement relié à la théorie de la croissance à l'infini des fonctions entières dans Cn pour n ≥ 2. Un résultat dû à P. Lelong montre que la croissance le long des fibres d'une fonction holomorphe sur X varie peu sur des fibres voisines. On choisit alors la structure de X de manière que cette croissance à l'infini soit invariante par les automorphismes de transition. Puis, on choisit des automorphismes de transition du type (z1, z2) ↦ (z1, z2exp(z1)) qui imposent de sévères distorsions à la croissance des fonctions sur les fibres, incompatibles avec la conservation de la croissance. On en conclut que les fonctions holomorphes sur X sont constantes sur les fibres et donc que X n'est pas de Stein.

La théorie des courants, positifs, fermés

On appelle courant T sur la variété Ω, de dimension p, une forme linéaire continue sur l'espace Dp(Ω) des formes différentielles de classe C, à support compact, de degré p. On note < T, ϕ > la valeur du courant T sur[...]

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Écrit par

  • : professeur à la faculté des sciences de Nice
  • : professeur à l'université de Paris-VI, directeur d'études à l'Ecole pratique des hautes études

Classification

Pour citer cet article

André MARTINEAU et Henri SKODA. FONCTIONS ANALYTIQUES - Fonctions de plusieurs variables complexes [en ligne]. In Encyclopædia Universalis. Disponible sur : (consulté le )

Article mis en ligne le et modifié le 14/03/2009

Autres références

  • FONCTIONS ANALYTIQUES (A.-L. Cauchy)

    • Écrit par
    • 269 mots

    Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) est un mathématicien français prolifique, auteur de 789 notes qui furent publiées pour la plupart aux Comptes rendus de l'Académie des sciences. Parmi les nombreux résultats importants qu’il a démontrés, ceux qui concernent les fonctions d'une variable...

  • PRIX ABEL 2016

    • Écrit par
    • 1 168 mots
    • 2 médias
    Pour ce qui est des formes modulaires, on peut dire très schématiquement que ce sont des fonctions analytiques qui respectent certaines conditions exprimées par certaines équations fonctionnelles – un exemple étant f[(az + b)/(cz + d)] = (cz + d)2 f(z) pour tout z complexe ; a, b, c et d étant...
  • ANALYSE MATHÉMATIQUE

    • Écrit par
    • 8 527 mots
    ...exemple pour la fonction égale à exp (− 1/x2) pour x ≠ 0 et à 0 pour x = 0, en prenant x0 = 0). Il y a donc lieu de faire l'étude des fonctions, dites analytiques, qui, au voisinage de chaque point x0 où elles sont définies, sont égales à leur série de Taylor en ce point. On savait depuis...
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    ...fonctions analytiques à l'origine O du plan complexe. Considérons les couples (U, f ) d'un voisinage ouvert de O dans le plan complexe et d'une fonction f définie et analytique dans U. Nous dirons que deux tels couples (U, f ) et (V, g) définissent le même germe à l'origine si f et ...
  • ASYMPTOTIQUES CALCULS

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    ...) = etReh(x+iy), appelé le relief de eth(z). Cette surface ne présente pas de « sommet » relatif, d'après le principe du maximum pour les fonctions analytiques, et, par suite, les seuls points où le plan tangent est horizontal (ce sont les points où la dérivée h′(z) s'annule), sont...
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