FONCTIONS ANALYTIQUESFonctions de plusieurs variables complexes

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Variétés et espaces analytiques

Un des sommets de la théorie des fonctions d'une variable complexe est l'étude des surfaces de Riemann et leur uniformisation par les fonctions automorphes de Klein-Poincaré. Les fonctions automorphes de plusieurs variables relèvent plus naturellement de la théorie des groupes de Lie (cf. groupes – Groupes de Lie) tandis que les surfaces de Riemann trouvent leur extension dans les notions de variété et d'espace analytiques que nous allons introduire ici.

Soit X un espace topologique séparé. Une structure d'espace annelé sur X est définie par la donnée, pour chaque ouvert U de X, d'un anneau A(U) et, pour toute paire U, V d'ouverts tels que V ⊂ U, d'un homomorphisme d'anneau :

pour ∈ A(U), on dira que jV,U() est la restriction de f à V. On impose aux homomorphismes donnés d'être compatibles, c'est-à-dire que, si W ⊂ V ⊂ U, on doit avoir :
et de satisfaire à la condition de recollement suivante. Soit (Ua) une famille d'ouverts de réunion U et supposons donné, pour tout a, un élément ∈ A(Ua) de telle sorte que, quels que soient a et b, les restrictions de a et b à U∩ Ub soient égales ; la condition de recollement exprime qu'il existe alors un élément ∈ A(U) unique dont la restriction à chaque Ua soit a. Cette condition de recollement est la formalisation abstraite de l'idée que les éléments des anneaux A(U) sont caractérisés par des propriétés de nature « locale ».

Par exemple, dans X = Cn, pour tout ouvert U, soit A(U) l'anneau (pour l'addition et la multiplication usuelles) des fonctions holomorphes dans U, et, pour V ⊂ U, soit jV,U l'application qui, à toute fonction holomorphe dans U, fait correspondre sa restriction à V au sens usuel ; on obtient ainsi ce qu'on appelle la structure analytique de Cn.

Dans tout ce qui suit, on supposera toujours que les anneaux A(U) sont des anneaux de fonctions à valeurs complexes continues dans U et que jV,U est la restriction au sens usuel.

Soit X et Y deux espaces annelés. On dit qu'une application continue :

est un morphisme d'espace annelé si, pour tout ouvert V de Y, l'ensemble des [...]

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Écrit par :

  • : professeur à la faculté des sciences de Nice
  • : professeur à l'université de Paris-VI, directeur d'études à l'Ecole pratique des hautes études

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Pour citer l’article

André MARTINEAU, Henri SKODA, « FONCTIONS ANALYTIQUES - Fonctions de plusieurs variables complexes », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 04 décembre 2020. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/fonctions-analytiques-fonctions-de-plusieurs-variables-complexes/