Universalis
Abonnez-vous à Universalis pour 1 euro

FONCTIONS ANALYTIQUES Fonctions de plusieurs variables complexes

  • Article mis en ligne le
  • Modifié le
  • Écrit par et

Variétés et espaces analytiques

Un des sommets de la théorie des fonctions d'une variable complexe est l'étude des surfaces de Riemann et leur uniformisation par les fonctions automorphes de Klein-Poincaré. Les fonctions automorphes de plusieurs variables relèvent plus naturellement de la théorie des groupes de Lie (cf. groupes – Groupes de Lie) tandis que les surfaces de Riemann trouvent leur extension dans les notions de variété et d'espace analytiques que nous allons introduire ici.

Soit X un espace topologique séparé. Une structure d'espace annelé sur X est définie par la donnée, pour chaque ouvert U de X, d'un anneau A(U) et, pour toute paire U, V d'ouverts tels que V ⊂ U, d'un homomorphisme d'anneau :

pour f ∈ A(U), on dira que jV,U(f ) est la restriction de f à V. On impose aux homomorphismes donnés d'être compatibles, c'est-à-dire que, si W ⊂ V ⊂ U, on doit avoir :
et de satisfaire à la condition de recollement suivante. Soit (Ua) une famille d'ouverts de réunion U et supposons donné, pour tout a, un élément f a ∈ A(Ua) de telle sorte que, quels que soient a et b, les restrictions de f a et f b à Ua ∩ Ub soient égales ; la condition de recollement exprime qu'il existe alors un élément f ∈ A(U) unique dont la restriction à chaque Ua soit f a. Cette condition de recollement est la formalisation abstraite de l'idée que les éléments des anneaux A(U) sont caractérisés par des propriétés de nature « locale ».

Par exemple, dans X = Cn, pour tout ouvert U, soit A(U) l'anneau (pour l'addition et la multiplication usuelles) des fonctions holomorphes dans U, et, pour V ⊂ U, soit jV,U l'application qui, à toute fonction holomorphe dans U, fait correspondre sa restriction à V au sens usuel ; on obtient ainsi ce qu'on appelle la structure analytique de Cn.

Dans tout ce qui suit, on supposera toujours que les anneaux A(U) sont des anneaux de fonctions à valeurs complexes continues dans U et que jV,U est la restriction au sens usuel.

Soit X et Y deux espaces annelés. On dit qu'une application continue :

est un morphisme d'espace annelé si, pour tout ouvert V de Y, l'ensemble des fonctions, définies dans l'ouvert U = p-1(V), de la forme g ∘ p, g ∈ A(V), est un sous-anneau de A(U). Soit, par exemple, Ω un ouvert de Cn muni de la structure d'espace annelé obtenue en prenant pour A(U), U ouvert de Ω, l'anneau des fonctions holomorphes dans U ; l'application identique de Ω dans Cn est un morphisme analytique et on dit que Ω est muni de la structure induite par Cn. Si p est une bijection et si la bijection réciproque p-1 : Y → X est aussi un morphisme d'espaces annelés, on dira que p est un isomorphisme d'espaces annelés.

Une variété analytique complexe X est, par définition, un espace annelé (dans lequel les anneaux A(U) sont des anneaux de fonctions continues dans U ; cf. infra) qui est localement isomorphe à un ouvert de Cn, c'est-à-dire que, pour tout point x ∈ X, il existe un ouvert ωx ⊂ X contenant x, un ouvert Ωx ⊂ Cn et une bijection :

qui soit un isomorphisme analytique de ωx, muni de sa structure d'espace annelé induite, sur Ωx. Avec cette notion, on peut donner une définition correcte d'un ouvert étalé sur Cn (cf. chap. 4) ; c'est la donnée du couple (V, p) d'une variété analytique V et d'un morphisme p : V → Cn qui est localement un isomorphisme.

Soit F un ensemble analytique d'un ouvert Ω de Cn (cf. chap. 5). Par définition, on dit alors qu'une fonction f à valeurs complexes définie dans un ouvert de F est holomorphe si, pour tout point z de cet ensemble, on peut trouver un polydisque Pz de centre z et une fonction gz, holomorphe dans ce polydisque, dont la restriction à Pz ∩ F soit[...]

La suite de cet article est accessible aux abonnés

  • Des contenus variés, complets et fiables
  • Accessible sur tous les écrans
  • Pas de publicité

Découvrez nos offres

Déjà abonné ? Se connecter

Écrit par

  • : professeur à la faculté des sciences de Nice
  • : professeur à l'université de Paris-VI, directeur d'études à l'Ecole pratique des hautes études

Carte mentale
Élargissez votre recherche dans Universalis

Classification

Pour citer cet article

André MARTINEAU et Henri SKODA. FONCTIONS ANALYTIQUES - Fonctions de plusieurs variables complexes [en ligne]. In Encyclopædia Universalis. Disponible sur : (consulté le )

Article mis en ligne le et modifié le 14/03/2009

Autres références

  • FONCTIONS ANALYTIQUES (A.-L. Cauchy)

    • Écrit par
    • 269 mots

    Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) est un mathématicien français prolifique, auteur de 789 notes qui furent publiées pour la plupart aux Comptes rendus de l'Académie des sciences. Parmi les nombreux résultats importants qu’il a démontrés, ceux qui concernent les fonctions d'une variable...

  • PRIX ABEL 2016

    • Écrit par
    • 1 168 mots
    • 2 médias
    Pour ce qui est des formes modulaires, on peut dire très schématiquement que ce sont des fonctions analytiques qui respectent certaines conditions exprimées par certaines équations fonctionnelles – un exemple étant f[(az + b)/(cz + d)] = (cz + d)2 f(z) pour tout z complexe ; a, b, c et d étant...

  • ANALYSE MATHÉMATIQUE

    • Écrit par
    • 8 527 mots
    ...exemple pour la fonction égale à exp (− 1/x2) pour x ≠ 0 et à 0 pour x = 0, en prenant x0 = 0). Il y a donc lieu de faire l'étude des fonctions, dites analytiques, qui, au voisinage de chaque point x0 où elles sont définies, sont égales à leur série de Taylor en ce point. On savait depuis...

  • ANNEAUX & ALGÈBRES

    • Écrit par
    • 5 036 mots
    • 1 média
    ...fonctions analytiques à l'origine O du plan complexe. Considérons les couples (U, f ) d'un voisinage ouvert de O dans le plan complexe et d'une fonction f définie et analytique dans U. Nous dirons que deux tels couples (U, f ) et (V, g) définissent le même germe à l'origine si f et ...

  • ASYMPTOTIQUES CALCULS

    • Écrit par et
    • 6 250 mots
    • 1 média
    Développements asymptotiques - crédits : Encyclopædia Universalis France
    ...) = etReh(x+iy), appelé le relief de eth(z). Cette surface ne présente pas de « sommet » relatif, d'après le principe du maximum pour les fonctions analytiques, et, par suite, les seuls points où le plan tangent est horizontal (ce sont les points où la dérivée h′(z) s'annule), sont...
  • Afficher les 20 références
Abonnez-vous à Universalis pour 1 euro

Rejoignez-nous

Inscrivez-vous à notre newsletter