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FONCTIONS ANALYTIQUES Fonctions de plusieurs variables complexes

Variétés et espaces analytiques

Un des sommets de la théorie des fonctions d'une variable complexe est l'étude des surfaces de Riemann et leur uniformisation par les fonctions automorphes de Klein-Poincaré. Les fonctions automorphes de plusieurs variables relèvent plus naturellement de la théorie des groupes de Lie (cf. groupes – Groupes de Lie) tandis que les surfaces de Riemann trouvent leur extension dans les notions de variété et d'espace analytiques que nous allons introduire ici.

Soit X un espace topologique séparé. Une structure d'espace annelé sur X est définie par la donnée, pour chaque ouvert U de X, d'un anneau A(U) et, pour toute paire U, V d'ouverts tels que V ⊂ U, d'un homomorphisme d'anneau :

pour ∈ A(U), on dira que jV,U(f ) est la restriction de f à V. On impose aux homomorphismes donnés d'être compatibles, c'est-à-dire que, si W ⊂ V ⊂ U, on doit avoir :
et de satisfaire à la condition de recollement suivante. Soit (Ua) une famille d'ouverts de réunion U et supposons donné, pour tout a, un élément f ∈ A(Ua) de telle sorte que, quels que soient a et b, les restrictions de f a et f b à U∩ Ub soient égales ; la condition de recollement exprime qu'il existe alors un élément ∈ A(U) unique dont la restriction à chaque Ua soit f a. Cette condition de recollement est la formalisation abstraite de l'idée que les éléments des anneaux A(U) sont caractérisés par des propriétés de nature « locale ».

Par exemple, dans X = Cn, pour tout ouvert U, soit A(U) l'anneau (pour l'addition et la multiplication usuelles) des fonctions holomorphes dans U, et, pour V ⊂ U, soit jV,U l'application qui, à toute fonction holomorphe dans U, fait correspondre sa restriction à V au sens usuel ; on obtient ainsi ce qu'on appelle la structure analytique de Cn.

Dans tout ce qui suit, on supposera toujours que les anneaux A(U) sont des anneaux de fonctions à valeurs complexes continues dans U et que jV,U est la restriction au sens usuel.

Soit X et Y deux espaces annelés. On dit qu'une application continue :

est un morphisme d'espace annelé si, pour tout ouvert V de Y, l'ensemble des fonctions, définies dans l'ouvert U = p-1(V), de la forme g ∘ p, ∈ A(V), est un sous-anneau de A(U). Soit, par exemple, Ω un ouvert de Cn muni de la structure d'espace annelé obtenue en prenant pour A(U), U ouvert de Ω, l'anneau des fonctions holomorphes dans U ; l'application identique de Ω dans Cn est un morphisme analytique et on dit que Ω est muni de la structure induite par Cn. Si p est une bijection et si la bijection réciproque p-1 : Y → X est aussi un morphisme d'espaces annelés, on dira que p est un isomorphisme d'espaces annelés.

Une variété analytique complexe X est, par définition, un espace annelé (dans lequel les anneaux A(U) sont des anneaux de fonctions continues dans U ; cf. infra) qui est localement isomorphe à un ouvert de Cn, c'est-à-dire que, pour tout point ∈ X, il existe un ouvert ω⊂ X contenant x, un ouvert Ω⊂ Cn et une bijection :

qui soit un isomorphisme analytique de ωx, muni de sa structure d'espace annelé induite, sur Ωx. Avec cette notion, on peut donner une définition correcte d'un ouvert étalé sur Cn (cf. chap. 4) ; c'est la donnée du couple (V, p) d'une variété analytique V et d'un morphisme p : V → Cn qui est localement un isomorphisme.

Soit F un ensemble analytique d'un ouvert Ω de Cn (cf. chap. 5). Par définition, on dit alors qu'une fonction f à valeurs complexes définie dans un ouvert de F est holomorphe si, pour tout point z de cet ensemble, on peut trouver un polydisque Pz de centre z et une fonction gz, holomorphe dans ce polydisque, dont la restriction à P∩ F soit[...]

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Écrit par

  • : professeur à la faculté des sciences de Nice
  • : professeur à l'université de Paris-VI, directeur d'études à l'Ecole pratique des hautes études

Classification

Pour citer cet article

André MARTINEAU et Henri SKODA. FONCTIONS ANALYTIQUES - Fonctions de plusieurs variables complexes [en ligne]. In Encyclopædia Universalis. Disponible sur : (consulté le )

Article mis en ligne le et modifié le 14/03/2009

Autres références

  • FONCTIONS ANALYTIQUES (A.-L. Cauchy)

    • Écrit par
    • 269 mots

    Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) est un mathématicien français prolifique, auteur de 789 notes qui furent publiées pour la plupart aux Comptes rendus de l'Académie des sciences. Parmi les nombreux résultats importants qu’il a démontrés, ceux qui concernent les fonctions d'une variable...

  • PRIX ABEL 2016

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  • ANALYSE MATHÉMATIQUE

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