FONCTIONS ANALYTIQUESFonctions de plusieurs variables complexes

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Théorie des résidus

Liée aux représentations intégrales, on trouve la théorie des résidus, dont la puissance est bien connue dans le cas des fonctions d'une variable complexe. Les premiers travaux sur cette question remontent à H. Poincaré, à la fin du xixe siècle. Le développement de cette théorie est apparu comme urgent à la suite des travaux de Petrowski et de Herglotz sur les solutions élémentaires des équations aux dérivées partielles. Ces travaux, poursuivis et approfondis par Leray, l'ont conduit vers 1960 à l'exposé d'une théorie générale.

Définissons la notion de résidu, toujours dans le cas de deux variables complexes. Soit S une surface de C2 que l'on supposera définie par une équation s(z) = 0, et soit ϕ une forme différentielle fermée (c'est-à-dire de différentielle extérieure dϕ nulle) dans le complémentaire de S ; on supposera de plus s ( ϕ régulière au voisinage de S (on dit que ϕ n'a sur S que des singularités polaires d'ordre 1). On peut montrer qu'il existe des formes différentielles ψ et θ régulières au voisinage de S, telles que :

où ∧ désigne le produit extérieur des formes. De plus, la restriction de ψ à S, soit ψ|S, ne dépend pas du choix de l'équation s : on l'appelle forme résidu de ϕ. Si on remplace la forme ϕ par une forme ϕ′ qui lui est cohomologue, c'est-à-dire telle que ϕ − ϕ′ admette une primitive dans le complémentaire de S, alors le résidu ψ′|S de ϕ′ sera cohomologue au résidu ψ|S ; d'autre part, on prouve qu'étant donné une forme λ fermée dans le complémentaire de S, elle est cohomologue à une forme ϕ n'ayant sur S que des singularités polaires d'ordre 1. Ainsi, et bien que la formule de division ci-dessus ne s'applique pas à λ, on peut définir le résidu de λ qui sera celui de ϕ sur S. Le résidu ainsi défini n'est donné qu'au bord d'une forme fermée donnée sur S près, c'est-à-dire que la notion naturelle de résidu est celle de résidu d'une classe de cohomologie de formes données dans le complémentaire de S et que le résidu est lui aussi une classe de cohomologie de formes données sur S. On peut itérer cette construction et obtenir a [...]

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Écrit par :

  • : professeur à l'université de Paris-VI, directeur d'études à l'Ecole pratique des hautes études
  • : professeur à la faculté des sciences de Nice

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Pour citer l’article

Henri SKODA, André MARTINEAU, « FONCTIONS ANALYTIQUES - Fonctions de plusieurs variables complexes », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 23 juillet 2019. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/fonctions-analytiques-fonctions-de-plusieurs-variables-complexes/