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FONCTIONS ANALYTIQUES Fonctions de plusieurs variables complexes

Théorie des résidus

Liée aux représentations intégrales, on trouve la théorie des résidus, dont la puissance est bien connue dans le cas des fonctions d'une variable complexe. Les premiers travaux sur cette question remontent à H. Poincaré, à la fin du xixe siècle. Le développement de cette théorie est apparu comme urgent à la suite des travaux de Petrowski et de Herglotz sur les solutions élémentaires des équations aux dérivées partielles. Ces travaux, poursuivis et approfondis par Leray, l'ont conduit vers 1960 à l'exposé d'une théorie générale.

Définissons la notion de résidu, toujours dans le cas de deux variables complexes. Soit S une surface de C2 que l'on supposera définie par une équation s(z) = 0, et soit ϕ une forme différentielle fermée (c'est-à-dire de différentielle extérieure dϕ nulle) dans le complémentaire de S ; on supposera de plus s ( ϕ régulière au voisinage de S (on dit que ϕ n'a sur S que des singularités polaires d'ordre 1). On peut montrer qu'il existe des formes différentielles ψ et θ régulières au voisinage de S, telles que :

où ∧ désigne le produit extérieur des formes. De plus, la restriction de ψ à S, soit ψ|S, ne dépend pas du choix de l'équation s : on l'appelle forme résidu de ϕ. Si on remplace la forme ϕ par une forme ϕ′ qui lui est cohomologue, c'est-à-dire telle que ϕ − ϕ′ admette une primitive dans le complémentaire de S, alors le résidu ψ′|S de ϕ′ sera cohomologue au résidu ψ|S ; d'autre part, on prouve qu'étant donné une forme λ fermée dans le complémentaire de S, elle est cohomologue à une forme ϕ n'ayant sur S que des singularités polaires d'ordre 1. Ainsi, et bien que la formule de division ci-dessus ne s'applique pas à λ, on peut définir le résidu de λ qui sera celui de ϕ sur S. Le résidu ainsi défini n'est donné qu'au bord d'une forme fermée donnée sur S près, c'est-à-dire que la notion naturelle de résidu est celle de résidu d'une classe de cohomologie de formes données dans le complémentaire de S et que le résidu est lui aussi une classe de cohomologie de formes données sur S. On peut itérer cette construction et obtenir ainsi des résidus composés.

Donnons la formule des résidus dans le cas simple que nous avons choisi. Par un point u de S, traçons la droite complexe normale à S, qui ne rencontre S qu'en u dans un voisinage de ce point ; on peut donc tracer dans cette droite complexe une circonférence C(u) qui ne contienne que le point u de l'intersection de S avec cette droite complexe. Soit γ une courbe fermée tracée sur S. On associe à γ une surface fermée de dimension 2 en faisant parcourir au point u la courbe γ et en faisant varier continûment le cercle C(u) en fonction du point u ; notons δγ la surface ainsi obtenue. Soit maintenant ϕ une forme différentielle de degré 2 fermée dans le complémentaire de S et n'admettant que des singularités polaires d'ordre 1 sur S ; nous noterons Res ϕ sa forme résidu. Cette forme résidu est une forme de degré 1 et fermée définie sur S ; prenant son intégrale sur γ, on obtient la formule générale des résidus :

La formule usuelle des résidus se ramène à ce schéma. Cette nouvelle théorie des résidus a déjà trouvé des applications très importantes dans la théorie des équations aux dérivées partielles en permettant d'étendre les méthodes symboliques de Laplace, bien connues dans le cas d'une variable. Elle joue un rôle important en mécanique quantique, dans l'interprétation des intégrales dites de Feynmann. Elle a aussi mis de l'ordre dans la théorie des représentations intégrales, mais bien des applications restent encore à découvrir.

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Écrit par

  • : professeur à la faculté des sciences de Nice
  • : professeur à l'université de Paris-VI, directeur d'études à l'Ecole pratique des hautes études

Classification

Pour citer cet article

André MARTINEAU et Henri SKODA. FONCTIONS ANALYTIQUES - Fonctions de plusieurs variables complexes [en ligne]. In Encyclopædia Universalis. Disponible sur : (consulté le )

Article mis en ligne le et modifié le 14/03/2009

Autres références

  • FONCTIONS ANALYTIQUES (A.-L. Cauchy)

    • Écrit par
    • 269 mots

    Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) est un mathématicien français prolifique, auteur de 789 notes qui furent publiées pour la plupart aux Comptes rendus de l'Académie des sciences. Parmi les nombreux résultats importants qu’il a démontrés, ceux qui concernent les fonctions d'une variable...

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