Universalis
Abonnez-vous à Universalis pour 1 euro

FONCTIONS ANALYTIQUES Fonctions de plusieurs variables complexes

  • Article mis en ligne le
  • Modifié le
  • Écrit par et

Théorie des résidus

Liée aux représentations intégrales, on trouve la théorie des résidus, dont la puissance est bien connue dans le cas des fonctions d'une variable complexe. Les premiers travaux sur cette question remontent à H. Poincaré, à la fin du xixe siècle. Le développement de cette théorie est apparu comme urgent à la suite des travaux de Petrowski et de Herglotz sur les solutions élémentaires des équations aux dérivées partielles. Ces travaux, poursuivis et approfondis par Leray, l'ont conduit vers 1960 à l'exposé d'une théorie générale.

Définissons la notion de résidu, toujours dans le cas de deux variables complexes. Soit S une surface de C2 que l'on supposera définie par une équation s(z) = 0, et soit ϕ une forme différentielle fermée (c'est-à-dire de différentielle extérieure dϕ nulle) dans le complémentaire de S ; on supposera de plus s ( ϕ régulière au voisinage de S (on dit que ϕ n'a sur S que des singularités polaires d'ordre 1). On peut montrer qu'il existe des formes différentielles ψ et θ régulières au voisinage de S, telles que :

où ∧ désigne le produit extérieur des formes. De plus, la restriction de ψ à S, soit ψ|S, ne dépend pas du choix de l'équation s : on l'appelle forme résidu de ϕ. Si on remplace la forme ϕ par une forme ϕ′ qui lui est cohomologue, c'est-à-dire telle que ϕ − ϕ′ admette une primitive dans le complémentaire de S, alors le résidu ψ′|S de ϕ′ sera cohomologue au résidu ψ|S ; d'autre part, on prouve qu'étant donné une forme λ fermée dans le complémentaire de S, elle est cohomologue à une forme ϕ n'ayant sur S que des singularités polaires d'ordre 1. Ainsi, et bien que la formule de division ci-dessus ne s'applique pas à λ, on peut définir le résidu de λ qui sera celui de ϕ sur S. Le résidu ainsi défini n'est donné qu'au bord d'une forme fermée donnée sur S près, c'est-à-dire que la notion naturelle de résidu est celle de résidu d'une classe de cohomologie de formes données dans le complémentaire de S et que le résidu est lui aussi une classe de cohomologie de formes données sur S. On peut itérer cette construction et obtenir ainsi des résidus composés.

Donnons la formule des résidus dans le cas simple que nous avons choisi. Par un point u de S, traçons la droite complexe normale à S, qui ne rencontre S qu'en u dans un voisinage de ce point ; on peut donc tracer dans cette droite complexe une circonférence C(u) qui ne contienne que le point u de l'intersection de S avec cette droite complexe. Soit γ une courbe fermée tracée sur S. On associe à γ une surface fermée de dimension 2 en faisant parcourir au point u la courbe γ et en faisant varier continûment le cercle C(u) en fonction du point u ; notons δγ la surface ainsi obtenue. Soit maintenant ϕ une forme différentielle de degré 2 fermée dans le complémentaire de S et n'admettant que des singularités polaires d'ordre 1 sur S ; nous noterons Res ϕ sa forme résidu. Cette forme résidu est une forme de degré 1 et fermée définie sur S ; prenant son intégrale sur γ, on obtient la formule générale des résidus :

La formule usuelle des résidus se ramène à ce schéma. Cette nouvelle théorie des résidus a déjà trouvé des applications très importantes dans la théorie des équations aux dérivées partielles en permettant d'étendre les méthodes symboliques de Laplace, bien connues dans le cas d'une variable. Elle joue un rôle important en mécanique quantique, dans l'interprétation des intégrales dites de Feynmann. Elle a aussi mis de l'ordre dans la théorie des représentations intégrales, mais bien des applications restent encore à découvrir.

La suite de cet article est accessible aux abonnés

  • Des contenus variés, complets et fiables
  • Accessible sur tous les écrans
  • Pas de publicité

Découvrez nos offres

Déjà abonné ? Se connecter

Écrit par

  • : professeur à la faculté des sciences de Nice
  • : professeur à l'université de Paris-VI, directeur d'études à l'Ecole pratique des hautes études

Carte mentale
Élargissez votre recherche dans Universalis

Classification

Pour citer cet article

André MARTINEAU et Henri SKODA. FONCTIONS ANALYTIQUES - Fonctions de plusieurs variables complexes [en ligne]. In Encyclopædia Universalis. Disponible sur : (consulté le )

Article mis en ligne le et modifié le 14/03/2009

Autres références

  • FONCTIONS ANALYTIQUES (A.-L. Cauchy)

    • Écrit par
    • 269 mots

    Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) est un mathématicien français prolifique, auteur de 789 notes qui furent publiées pour la plupart aux Comptes rendus de l'Académie des sciences. Parmi les nombreux résultats importants qu’il a démontrés, ceux qui concernent les fonctions d'une variable...

  • PRIX ABEL 2016

    • Écrit par
    • 1 168 mots
    • 2 médias
    Pour ce qui est des formes modulaires, on peut dire très schématiquement que ce sont des fonctions analytiques qui respectent certaines conditions exprimées par certaines équations fonctionnelles – un exemple étant f[(az + b)/(cz + d)] = (cz + d)2 f(z) pour tout z complexe ; a, b, c et d étant...

  • ANALYSE MATHÉMATIQUE

    • Écrit par
    • 8 527 mots
    ...exemple pour la fonction égale à exp (− 1/x2) pour x ≠ 0 et à 0 pour x = 0, en prenant x0 = 0). Il y a donc lieu de faire l'étude des fonctions, dites analytiques, qui, au voisinage de chaque point x0 où elles sont définies, sont égales à leur série de Taylor en ce point. On savait depuis...

  • ANNEAUX & ALGÈBRES

    • Écrit par
    • 5 036 mots
    • 1 média
    ...fonctions analytiques à l'origine O du plan complexe. Considérons les couples (U, f ) d'un voisinage ouvert de O dans le plan complexe et d'une fonction f définie et analytique dans U. Nous dirons que deux tels couples (U, f ) et (V, g) définissent le même germe à l'origine si f et ...

  • ASYMPTOTIQUES CALCULS

    • Écrit par et
    • 6 250 mots
    • 1 média
    Développements asymptotiques - crédits : Encyclopædia Universalis France
    ...) = etReh(x+iy), appelé le relief de eth(z). Cette surface ne présente pas de « sommet » relatif, d'après le principe du maximum pour les fonctions analytiques, et, par suite, les seuls points où le plan tangent est horizontal (ce sont les points où la dérivée h′(z) s'annule), sont...
  • Afficher les 20 références
Abonnez-vous à Universalis pour 1 euro

Rejoignez-nous

Inscrivez-vous à notre newsletter