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FONCTIONS ANALYTIQUES Fonctions de plusieurs variables complexes

Les problèmes de Cousin

L'idée initiale remonte à H. Poincaré et ces problèmes ont été résolus, dans le cas particulier d'un polydisque, par J. Cousin dès 1895. La situation n'a plus évolué pendant près de quarante ans jusqu'aux travaux d'Oka ; les démonstrations d'Oka pour les domaines d'holomorphie ont été un pas important vers la théorie de Cartan-Serre.

Dans le cas d'une variable, on dit qu'une « fonction » est méromorphe dans un ouvert si elle n'a que des pôles ; on peut d'ailleurs l'interpréter comme une vraie fonction holomorphe à valeurs dans l'espace projectif. Dans le cas de plusieurs variables, on appellera fonction méromorphe dans un ouvert U la donnée d'une famille (Ui) d'ouverts, de réunion U, et dans chaque ouvert Ui d'une « fonction » f i/gif i et gi sont holomorphes dans Ui ; on suppose de plus que, dans chaque ouvert non vide de la forme U∩ Uj, on a fi/gi = fj/gj, c'est-à-dire figj − fjgi = 0.

Étendons à plusieurs variables le problème de Mittag-Leffler qui consiste à déterminer dans le plan une fonction méromorphe admettant un système de développements polaires donnés. On peut le formuler ainsi : Soit un ouvert U réunion de polydisques ouverts Ui ; on se donne dans chaque Ui une fonction méromorphe fi/gi de telle sorte que fi/gi − fj/gj soit holomorphe dans Ui ∩ Uj quels que soient i et j ; alors il existe une « fonction » méromorphe admettant le système polaire donné, c'est-à-dire qu'il existe des fonctions f i , gi holomorphes dans Ui telles que :

soit holomorphe dans Ui et :
dans U∩ Uj. Posons pour cela :
ce système de fonctions holomorphes ti,j satisfait aux identités :
dans U∩ Uj et :
dans U∩ U∩ Uk. On montre alors, sous ces hypothèses générales (c'est-à-dire sans supposer que les fonctions holomorphes ti,j proviennent de la donnée de parties polaires), qu'il existe des fonctions ti holomorphes dans Ui telles que ti,j = ti − tj dans U∩ Uj ; la « fonction » méromorphe cherchée est alors obtenue en posant :

Pour étendre à plusieurs variables le théorème classique de Weierstrass sur l'existence d'une fonction entière ayant des zéros donnés, il est indispensable d'introduire une nouvelle notion. Soit U un ouvert de Cn ; on dit qu'un ensemble F ⊂ U fermé dans U est un ensemble analytique dans U s'il existe une famille d'ouverts Ui de réunion U et dans chaque Ui un nombre fini de fonctions holomorphes f i,1, f i,2, ..., f i,n (n dépend de i) tels que la trace F ∩ Ui de F sur Ui soit exactement l'ensemble des zéros communs aux fonctions f i,1, ..., f i,n. Dans le cas où U est un ouvert d'holomorphie, on montre alors (théorème de H. Cartan) que F peut être défini par des équations globales, c'est-à-dire qu'il est l'ensemble des zéros d'un système d'équations gk(z) = 0, pour k = 1, 2, ..., ngk est holomorphe dans U. On déduit de ce résultat que, dans un ouvert d'holomorphie U, toute fonction méromorphe peut s'écrire globalement f/g, où f et g sont holomorphes dans U tout entier.

À une variable, la théorie de Weierstrass s'affine dans le cas des fonctions d'ordre fini, c'est-à-dire telles que :

l'extension à plusieurs variables des résultats d'Hadamard-Lindelöf a tenté les mathématiciens. La première difficulté est dans la nature des zéros qui sont en général des ensembles analytiques « avec singularités ». Considérons par exemple le polynôme z21 + z22 ; pour z≠ 0, on a une représentation paramétrique de l'ensemble des zéros z2 = ζ ou z2 = − ζ qui est régulière pour |ζ − z1| < |z1| ; mais il n'existe pas de telle représentation[...]

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Écrit par

  • : professeur à la faculté des sciences de Nice
  • : professeur à l'université de Paris-VI, directeur d'études à l'Ecole pratique des hautes études

Classification

Pour citer cet article

André MARTINEAU et Henri SKODA. FONCTIONS ANALYTIQUES - Fonctions de plusieurs variables complexes [en ligne]. In Encyclopædia Universalis. Disponible sur : (consulté le )

Article mis en ligne le et modifié le 14/03/2009

Autres références

  • FONCTIONS ANALYTIQUES (A.-L. Cauchy)

    • Écrit par
    • 269 mots

    Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) est un mathématicien français prolifique, auteur de 789 notes qui furent publiées pour la plupart aux Comptes rendus de l'Académie des sciences. Parmi les nombreux résultats importants qu’il a démontrés, ceux qui concernent les fonctions d'une variable...

  • PRIX ABEL 2016

    • Écrit par
    • 1 168 mots
    • 2 médias
    Pour ce qui est des formes modulaires, on peut dire très schématiquement que ce sont des fonctions analytiques qui respectent certaines conditions exprimées par certaines équations fonctionnelles – un exemple étant f[(az + b)/(cz + d)] = (cz + d)2 f(z) pour tout z complexe ; a, b, c et d étant...
  • ANALYSE MATHÉMATIQUE

    • Écrit par
    • 8 527 mots
    ...exemple pour la fonction égale à exp (− 1/x2) pour x ≠ 0 et à 0 pour x = 0, en prenant x0 = 0). Il y a donc lieu de faire l'étude des fonctions, dites analytiques, qui, au voisinage de chaque point x0 où elles sont définies, sont égales à leur série de Taylor en ce point. On savait depuis...
  • ANNEAUX & ALGÈBRES

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    ...fonctions analytiques à l'origine O du plan complexe. Considérons les couples (U, f ) d'un voisinage ouvert de O dans le plan complexe et d'une fonction f définie et analytique dans U. Nous dirons que deux tels couples (U, f ) et (V, g) définissent le même germe à l'origine si f et ...
  • ASYMPTOTIQUES CALCULS

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    ...) = etReh(x+iy), appelé le relief de eth(z). Cette surface ne présente pas de « sommet » relatif, d'après le principe du maximum pour les fonctions analytiques, et, par suite, les seuls points où le plan tangent est horizontal (ce sont les points où la dérivée h′(z) s'annule), sont...
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