FONCTIONS ANALYTIQUESFonctions d'une variable complexe

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On se propose, dans ce premier article, d'exposer, avec des démonstrations quasiment complètes, les résultats les plus élémentaires de la théorie des fonctions analytiques d'une variable complexe ; les deux derniers chapitres sont consacrés à quelques résultats sans démonstration. Historiquement, l'extension au cas complexe de nombreuses fonctions classiques a été réalisée par l'intermédiaire des développements en série ; les séries entières restent à la base de l'étude locale des fonctions analytiques. Avec l'introduction de l'intégrale curviligne, on peut aborder des problèmes globaux, comme la recherche des primitives, qui font apparaître des conditions de nature « géométrique » ou, plutôt, topologique, imposées aux ouverts du plan complexe ; les représentations intégrales de Cauchy sont à la base du calcul des résidus, qui a d'innombrables applications pratiques.

On a passé sous silence les résultats relatifs aux fonctions harmoniques de deux variables, qui ne sont autres que les parties réelles de fonctions analytiques, en renvoyant à l'article théorie du potentiel.

Séries entières

La définition et l'étude des fonctions analytiques reposent sur la notion de série entière, c'est-à-dire de série de la forme :

a et les an sont des nombres complexes donnés ; on dit qu'une telle série (1) est une série entière de centre a et de coefficients an.

On dit que la série (1) converge normalement dans un ensemble K ⊂ C si la série des modules de ses termes est uniformément convergente pour ∈ K. Rappelons qu'il suffit pour cela qu'il existe une série numérique convergente de terme général αn telle que |an(z − a)n| ≤ αn pour tout n ∈ N et ∈ K.

On désigne, dans ce qui suit, par D (a, r) et D− (ar) les disques ouvert et fermé de centre a et de rayon r, c'est-à-dire les ensembles de nombres complexes z tels que |z − a| < r et |z − a| ≤ r respectivement.

Convergence

Étudions l'ensemble des nombres complexes z pour lesquels la série (1) est convergente. Posant Z = z − a pour simplifier, on se ramène, par une translation, à une s [...]


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  • : maître de conférences honoraire à l'université de Paris-VII

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Pour citer l’article

Jean-Luc VERLEY, « FONCTIONS ANALYTIQUES - Fonctions d'une variable complexe », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 13 août 2020. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/fonctions-analytiques-fonctions-d-une-variable-complexe/