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FONCTIONS ANALYTIQUES Fonctions d'une variable complexe

On se propose, dans ce premier article, d'exposer, avec des démonstrations quasiment complètes, les résultats les plus élémentaires de la théorie des fonctions analytiques d'une variable complexe ; les deux derniers chapitres sont consacrés à quelques résultats sans démonstration. Historiquement, l'extension au cas complexe de nombreuses fonctions classiques a été réalisée par l'intermédiaire des développements en série ; les séries entières restent à la base de l'étude locale des fonctions analytiques. Avec l'introduction de l'intégrale curviligne, on peut aborder des problèmes globaux, comme la recherche des primitives, qui font apparaître des conditions de nature « géométrique » ou, plutôt, topologique, imposées aux ouverts du plan complexe ; les représentations intégrales de Cauchy sont à la base du calcul des résidus, qui a d'innombrables applications pratiques.

On a passé sous silence les résultats relatifs aux fonctions harmoniques de deux variables, qui ne sont autres que les parties réelles de fonctions analytiques, en renvoyant à l'article théorie du potentiel.

Séries entières

La définition et l'étude des fonctions analytiques reposent sur la notion de série entière, c'est-à-dire de série de la forme :

a et les an sont des nombres complexes donnés ; on dit qu'une telle série (1) est une série entière de centre a et de coefficients an.

On dit que la série (1) converge normalement dans un ensemble K ⊂ C si la série des modules de ses termes est uniformément convergente pour z ∈ K. Rappelons qu'il suffit pour cela qu'il existe une série numérique convergente de terme général αn telle que |an(z − a)n| ≤ αn pour tout n ∈ N et z ∈ K.

On désigne, dans ce qui suit, par D (a, r) et D− (a, r) les disques ouvert et fermé de centre a et de rayon r, c'est-à-dire les ensembles de nombres complexes z tels que |z − a| < r et |z − a| ≤ r respectivement.

Convergence

Étudions l'ensemble des nombres complexes z pour lesquels la série (1) est convergente. Posant Z = z − a pour simplifier, on se ramène, par une translation, à une série entière :

de centre O.

Théorème 1. Soit R (éventuellement égal à 0 ou à + ∞) défini par la formule d'Hadamard :

alors, pour tout r < R, la série (2) converge normalement dans le disque fermé D−(0, r) (en particulier, cette série converge absolument pour |Z| < R) et diverge pour |Z| > R.

Ce nombre R est appelé le rayon de convergence de la série entière (2) et le disque ouvert correspondant D(0, R), qui est éventuellement vide ou égal au plan complexe tout entier, est appelé le disque de convergence de cette série. Remarquons que le théorème n'affirme rien pour |Z| = R ; toutes les circonstances peuvent se rencontrer : divergence en tout point de ce cercle, convergence avec ou sans convergence absolue en certains points, convergence partout (cf. infra, Principe des zéros isolés).

Il faut indiquer la démonstration du théorème 1. Supposons d'abord R > 0 et soit r < R : choisissons ρ tel que r < ρ < R. D'après (3), on a :

soit |ann < 1, pour n assez grand. Pour n assez grand et |Z| ≤ r, on a donc :
ainsi le terme général de (2) est majoré en module pour Z ∈ D−(0, r) par le terme général d'une série géométrique convergente, d'où la convergence normale. Réciproquement, soit |Z| > R. D'après (3), il existe alors pour n une infinité de valeurs telles que |an|1/n > 1/|Z|, soit |anZn| >1 ; ainsi le terme général de la série (2) ne tend pas vers 0 et cette série diverge.

Pour trouver un rayon de convergence, on utilise rarement la formule (3), dont l'intérêt est surtout théorique, mais on étudie, suivant les valeurs[...]

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Écrit par

  • : maître de conférences honoraire à l'université de Paris-VII

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Pour citer cet article

Jean-Luc VERLEY. FONCTIONS ANALYTIQUES - Fonctions d'une variable complexe [en ligne]. In Encyclopædia Universalis. Disponible sur : (consulté le )

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Primitive

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Théorème de Cauchy

Autres références

  • FONCTIONS ANALYTIQUES (A.-L. Cauchy)

    • Écrit par Bernard PIRE
    • 181 mots

    Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) a écrit 789 notes qui furent publiées pour la plupart aux Comptes rendus de l'Académie des sciences. Parmi les nombreux résultats importants qu’il a démontrés, ceux qui concernent les fonctions d'une variable complexe ont marqué un tournant décisif dans l'histoire...

  • PRIX ABEL 2016

    • Écrit par Yves GAUTIER
    • 1 168 mots
    • 2 médias
    Pour ce qui est des formes modulaires, on peut dire très schématiquement que ce sont des fonctions analytiques qui respectent certaines conditions exprimées par certaines équations fonctionnelles – un exemple étant f[(az + b)/(cz + d)] = (cz + d)2 f(z) pour tout z complexe ; a, b, c et d étant...
  • ANALYSE MATHÉMATIQUE

    • Écrit par Jean DIEUDONNÉ
    • 8 527 mots
    ...exemple pour la fonction égale à exp (− 1/x2) pour x ≠ 0 et à 0 pour x = 0, en prenant x0 = 0). Il y a donc lieu de faire l'étude des fonctions, dites analytiques, qui, au voisinage de chaque point x0 où elles sont définies, sont égales à leur série de Taylor en ce point. On savait depuis...
  • ANNEAUX & ALGÈBRES

    • Écrit par Jean-Luc VERLEY
    • 5 036 mots
    • 1 média
    ...fonctions analytiques à l'origine O du plan complexe. Considérons les couples (U, f ) d'un voisinage ouvert de O dans le plan complexe et d'une fonction f définie et analytique dans U. Nous dirons que deux tels couples (U, f ) et (V, g) définissent le même germe à l'origine si f et ...
  • ASYMPTOTIQUES CALCULS

    • Écrit par Jean-Louis OVAERT, Jean-Luc VERLEY
    • 6 250 mots
    • 1 média
    ...) = etReh(x+iy), appelé le relief de eth(z). Cette surface ne présente pas de « sommet » relatif, d'après le principe du maximum pour les fonctions analytiques, et, par suite, les seuls points où le plan tangent est horizontal (ce sont les points où la dérivée h′(z) s'annule), sont...
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Voir aussi