FONCTIONS ANALYTIQUESFonctions d'une variable complexe

On se propose, dans ce premier article, d'exposer, avec des démonstrations quasiment complètes, les résultats les plus élémentaires de la théorie des fonctions analytiques d'une variable complexe ; les deux derniers chapitres sont consacrés à quelques résultats sans démonstration. Historiquement, l'extension au cas complexe de nombreuses fonctions classiques a été réalisée par l'intermédiaire des développements en série ; les séries entières restent à la base de l'étude locale des fonctions analytiques. Avec l'introduction de l'intégrale curviligne, on peut aborder des problèmes globaux, comme la recherche des primitives, qui font apparaître des conditions de nature « géométrique » ou, plutôt, topologique, imposées aux ouverts du plan complexe ; les représentations intégrales de Cauchy sont à la base du calcul des résidus, qui a d'innombrables applications pratiques.

On a passé sous silence les résultats relatifs aux fonctions harmoniques de deux variables, qui ne sont autres que les parties réelles de fonctions analytiques, en renvoyant à l'article théorie du potentiel.

Séries entières

La définition et l'étude des fonctions analytiques reposent sur la notion de série entière, c'est-à-dire de série de la forme :

où a et les a_n sont des nombres complexes donnés ; on dit qu'une telle série (1) est une série entière de centre a et de coefficients a_n.

On dit que la série (1) converge normalement dans un ensemble K ⊂ C si la série des modules de ses termes est uniformément convergente pour z ∈ K. Rappelons qu'il suffit pour cela qu'il existe une série numérique convergente de terme général α_n telle que |a_n(z − a)ⁿ| ≤ α_n pour tout n ∈ N et z ∈ K.

On désigne, dans ce qui suit, par D (a, r) et D− (a, r) les disques ouvert et fermé de centre a et de rayon r, c'est-à-dire les ensembles de nombres complexes z tels que |z − a| < r et |z − a| ≤ r respectivement.

Convergence

Étudions l'ensemble des nombres complexes z pour lesquels la série (1) est convergente. Posant Z = z − a pour simplifier, on se ramène, par une translation, à une série entière :

de centre O.

Théorème 1. Soit R (éventuellement égal à 0 ou à + ∞) défini par la formule d'Hadamard :

alors, pour tout r < R, la série (2) converge normalement dans le disque fermé D−(0, r) (en particulier, cette série converge absolument pour |Z| < R) et diverge pour |Z| > R.

Ce nombre R est appelé le rayon de convergence de la série entière (2) et le disque ouvert correspondant D(0, R), qui est éventuellement vide ou égal au plan complexe tout entier, est appelé le disque de convergence de cette série. Remarquons que le théorème n'affirme rien pour |Z| = R ; toutes les circonstances peuvent se rencontrer : divergence en tout point de ce cercle, convergence avec ou sans convergence absolue en certains points, convergence partout (cf. infra, Principe des zéros isolés).

Il faut indiquer la démonstration du théorème 1. Supposons d'abord R > 0 et soit r < R : choisissons ρ tel que r < ρ < R. D'après (3), on a :

soit |a_n|ρⁿ < 1, pour n assez grand. Pour n assez grand et |Z| ≤ r, on a donc :ainsi le terme général de (2) est majoré en module pour Z ∈ D−(0, r) par le terme général d'une série géométrique convergente, d'où la convergence normale. Réciproquement, soit |Z| > R. D'après (3), il existe alors pour n une infinité de valeurs telles que |a_n|^1/n > 1/|Z|, soit |a_nZⁿ| >1 ; ainsi le terme général de la série (2) ne tend pas vers 0 et cette série diverge.

Pour trouver un rayon de convergence, on utilise rarement la formule (3), dont l'intérêt est surtout théorique, mais on étudie, suivant les valeurs Z, la convergence absolue de la série (2) en utilisant les critères classiques. Ainsi, la série de terme général n  ! zⁿ a un rayon de convergence nul (critère de d'Alembert) ; la série :

dont la somme est la fonction exponentielle complexe (cf. exponentielle et loga- rithme, chap. 4), converge absolument pour tout z et a donc un rayon de convergence infini. Les séries :ont chacune un rayon de convergence égal à 1, mais ont des comportements très différents pour |z| = 1 : la première ne converge en aucun point de ce cercle puisque alors son terme général est de module égal à 1 ; la deuxième converge (mais pas absolument) en tout point de ce cercle différent de 1 et diverge pour z = 1 ; la troisième converge normalement pour |z| = 1.

Fonctions analytiques

Soit U un ouvert du plan complexe et f  : U → C une fonction à valeur [...]

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