FONCTIONS ANALYTIQUES Fonctions d'une variable complexe
Théorèmes de décomposition
Théorème de factorisation de Weierstrass
La théorie de Weierstrass a pour objet de généraliser aux fonctions entières (c'est-à-dire analytiques dans tout le plan complexe) le théorème de d'Alembert-Gauss.
Les zéros non nuls d'une fonction entière peuvent être rangés en une suite (zn), chaque zéro étant répété dans cette suite un nombre de fois égal à sa multiplicité, telle que |zn| soit une suite croissante, car tout disque ne contient qu'un nombre fini de tels zéros.
D'une part, étant donné une telle suite (zn), il existe une fonction entière F associée à cette suite de zéros. L'idée la plus simple consiste à poser :
Il est alors possible de trouver une suite (pn) d'entiers positifs tels que le produit infini :
Inversement, soit f une fonction entière, (zn) la suite de ses zéros non nuls et k l'ordre de multiplicité de la racine 0. Alors, la fonction f/zkF est une fonction entière qui ne s'annule pas, donc de la forme eg, où g est entière.
Finalement, on a :
On peut étendre ce résultat à un ouvert U simplement connexe de C : Soit A un sous-ensemble discret (donc nécessairement dénombrable) de U et associons à chaque point a ∈ A une « multiplicité » na qui soit un entier positif ; on peut alors montrer qu'il existe une fonction analytique dans U dont les zéros sont exactement les points de A, avec les multiplicités correspondantes. Il en résulte que, si h est une fonction méromorphe dans U, alors elle peut s'écrire, dans U tout entier et non pas seulement localement, comme quotient de deux fonctions analytiques.
Théorème de Mittag-Leffler
La théorie de Mittag-Leffler a pour objet de généraliser aux fonctions méromorphes dans C la décomposition en éléments simples des fractions rationnelles.
Soit f une fonction méromorphe dans C et (zn) la suite de ses pôles distincts, y compris éventuellement 0, organisée par module croissant, et soit :
Dans ces conditions, la fonction :
On peut étendre ce résultat à un ouvert quelconque de C.
Les théorèmes de Weierstrass et de Mittag-Leffler s'appliquent notamment aux développements eulériens des fonctions transcendantes élémentaires (cf. exponentielle et logarithme, chap. 5), au développement de la fonction gamma (cf. fonction gamma) et à la construction des fonctions elliptiques (cf. fonctions analytiques-Fonctions elliptiques et modulaire).
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Écrit par
- Jean-Luc VERLEY : maître de conférences honoraire à l'université de Paris-VII
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Jean-Luc VERLEY, « FONCTIONS ANALYTIQUES - Fonctions d'une variable complexe », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le . URL :
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Primitive
Primitive d'une fonction analytique
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Théorème de Cauchy
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Démonstration du théorème de Cauchy
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Autres références
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FONCTIONS ANALYTIQUES (A.-L. Cauchy)
- Écrit par Bernard PIRE
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Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) a écrit 789 notes qui furent publiées pour la plupart aux Comptes rendus de l'Académie des sciences. Parmi les nombreux résultats importants qu’il a démontrés, ceux qui concernent les fonctions d'une variable complexe ont marqué un tournant décisif dans...
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ANALYSE MATHÉMATIQUE
- Écrit par Jean DIEUDONNÉ
- 7 504 mots
...exemple pour la fonction égale à exp (− 1/x 2) pour x ≠ 0 et à 0 pour x = 0, en prenant x 0 = 0). Il y a donc lieu de faire l'étude des fonctions, dites analytiques, qui, au voisinage de chaque point x 0 où elles sont définies, sont égales à leur série de Taylor en ce point. On savait depuis... -
ANNEAUX & ALGÈBRES
- Écrit par Jean-Luc VERLEY
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...fonctions analytiques à l'origine O du plan complexe. Considérons les couples (U, f ) d'un voisinage ouvert de O dans le plan complexe et d'une fonction f définie et analytique dans U. Nous dirons que deux tels couples (U, f ) et (V, g) définissent le même germe à l'origine si f et ... -
ASYMPTOTIQUES CALCULS
- Écrit par Jean-Louis OVAERT, Jean-Luc VERLEY
- 5 500 mots
- 1 média
... tReh(x+iy) , appelé le relief de e th(z) . Cette surface ne présente pas de « sommet » relatif, d'après le principe du maximum pour les fonctions analytiques, et, par suite, les seuls points où le plan tangent est horizontal (ce sont les points où la dérivée h′(z) s'annule), sont... -
BOREL ÉMILE (1871-1956)
- Écrit par Maurice FRÉCHET
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DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) - Théorie linéaire
- Écrit par Martin ZERNER
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Ce théorème s'applique aussi aux systèmes, pourvu qu'ils soient de la forme :où Φ est une fonction analytique de t, x, u et ses dérivées d'ordre total m au plus mais strictement plus petit que m en t. Il reste un des rares résultats très généraux de la théorie. Il a été publié par ...
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Voir aussi
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