FONCTIONS ANALYTIQUESFonctions d'une variable complexe

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La dérivation complexe

Soit U un ouvert du plan et f une fonction à valeurs complexes définie dans U. On dit que f est dérivable au sens complexe en un point z0 = x0 + iy∈ U si l'expression :

tend vers une limite ′ (z0) lorsque le nombre complexe u = it tend vers zéro en module (c'est-à-dire lorsque (s, ) tend vers (0, 0) dans R2) ; le nombre complexe ′(z0) s'appelle la dérivée de f au sens complexe au point z0.

Équations de Cauchy-Riemann

La condition de dérivabilité complexe au point z0 peut aussi s'écrire :

où ε(u) tend vers 0 pour |u| → 0. Si on pose (iy) = (xy), on aura :
ce qui exprime que la fonction (xy), considérée comme fonction des deux variables réelles x et y, est dérivable (cf. calcul infinitésimal – Calcul à plusieurs variables, chap. 2) et que :
d'où :

Réciproquement, si f est une fonction dérivable des deux variables x et y satisfaisant à la condition (7), elle est dérivable au sens complexe. Si on pose (xy) = P(xy) + iQ(xy), la condition (7) donne les deux relations, appelées conditions de Cauchy-Riemann :

Si f est une fonction dérivable des deux variables réelles x, y, on pose souvent :

ce qui est suggéré par l'expression de la différentielle :
avec dz = dx + i dy et dz̄  = dx − i dy. La condition de Cauchy-Riemann peut alors s'écrire :
et on a, si f est dérivable au sens complexe :

Dans ce qui suit, on va montrer qu'une fonction f est analytique dans un ouvert U si et seulement si elle est continûment dérivable au sens complexe dans U (cela signifie que ′ est une fonction continue dans U). D'après ce qui précède, cela revient à dire que (z) est analytique si et seulement si f (xy) est une fonction continûment dérivable des deux variables x, y qui satisfait, en tout point z = x + iy de U, à l'une des conditions équivalentes (7) ou (8).

Dérivation des fonctions analytiques

Montrons tout d'abord que toute fonction analytique est indéfiniment dérivable au sens complexe et que sa dérivée est encore une fonction analytique. La dérivabilité et l'analyticité étant des propriétés locales (cela veut dire que si tout point U est c [...]


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Écrit par :

  • : maître de conférences honoraire à l'université de Paris-VII

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Pour citer l’article

Jean-Luc VERLEY, « FONCTIONS ANALYTIQUES - Fonctions d'une variable complexe », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 25 novembre 2020. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/fonctions-analytiques-fonctions-d-une-variable-complexe/