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FONCTIONS ANALYTIQUES Fonctions d'une variable complexe

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La dérivation complexe

Soit U un ouvert du plan et f une fonction à valeurs complexes définie dans U. On dit que f est dérivable au sens complexe en un point z0 = x0 + iy0 ∈ U si l'expression :

tend vers une limite f ′ (z0) lorsque le nombre complexe u = s + it tend vers zéro en module (c'est-à-dire lorsque (s, t ) tend vers (0, 0) dans R2) ; le nombre complexe f ′(z0) s'appelle la dérivée de f au sens complexe au point z0.

Équations de Cauchy-Riemann

La condition de dérivabilité complexe au point z0 peut aussi s'écrire :

où ε(u) tend vers 0 pour |u| → 0. Si on pose f (x + iy) = f (x, y), on aura :
ce qui exprime que la fonction f (x, y), considérée comme fonction des deux variables réelles x et y, est dérivable (cf. calcul infinitésimal – Calcul à plusieurs variables, chap. 2) et que :
d'où :

Réciproquement, si f est une fonction dérivable des deux variables x et y satisfaisant à la condition (7), elle est dérivable au sens complexe. Si on pose f (x, y) = P(x, y) + iQ(x, y), la condition (7) donne les deux relations, appelées conditions de Cauchy-Riemann :

Si f est une fonction dérivable des deux variables réelles x, y, on pose souvent :

ce qui est suggéré par l'expression de la différentielle :
avec dz = dx + i dy et dz̄  = dx − i dy. La condition de Cauchy-Riemann peut alors s'écrire :
et on a, si f est dérivable au sens complexe :

Dans ce qui suit, on va montrer qu'une fonction f est analytique dans un ouvert U si et seulement si elle est continûment dérivable au sens complexe dans U (cela signifie que f ′ est une fonction continue dans U). D'après ce qui précède, cela revient à dire que f (z) est analytique si et seulement si f (x, y) est une fonction continûment dérivable des deux variables x, y qui satisfait, en tout point z = x + iy de U, à l'une des conditions équivalentes (7) ou (8).

Dérivation des fonctions analytiques

Montrons tout d'abord que toute fonction analytique est indéfiniment dérivable au sens complexe et que sa dérivée est encore une fonction analytique. La dérivabilité et l'analyticité étant des propriétés locales (cela veut dire que si tout point U est centre d'un disque dans lequel ces propriétés sont vraies, alors elles sont vraies dans U), il suffit d'établir le résultat suivant :

Théorème 3. Soit :

la somme d'une série entière dans un disque D(a, r) ; alors la fonction f est dérivable dans D(a, r), et on a :

Remarquons tout d'abord que, puisque :

la formule d'Hadamard (3) montre que les séries entières (*) et (**) ont le même rayon de convergence. Par translation, on se ramène à a = 0.

Soit z0 ∈ D(0, r) et choisissons ρ tel que |z0| < ρ < r ; désignons enfin par g(z) la somme de la série (**) pour |z| < r. On a, pour z ≠ z0 :

l'expression entre crochets est nulle pour n = 1 et, pour n ≥ 2, on peut majorer son module :
pour |z| < ρ. Par suite :
cette dernière série est convergente, puisque ρ < r, et f est donc dérivable en z0, de dérivée f′(z0) = g(z0).

Puisque f′ est analytique, on peut lui appliquer de nouveau le théorème 3. Par récurrence, on obtient que f est indéfiniment dérivable au sens complexe et que sa dérivée k-ième est :

pour |z − a| < r. Pour z = a, on a :
ainsi les coefficients ak du développement (*) s'expriment simplement en fonction des valeurs des dérivées de f au point a. Si f est une fonction analytique dans un ouvert U, son développement en série entière de centre a est :
dans un voisinage de tout point a ∈ U ; c'est la formule de Taylor de f au point a. Cela redémontre, en particulier,[...]

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Écrit par

  • Jean-Luc VERLEY : maître de conférences honoraire à l'université de Paris-VII

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Jean-Luc VERLEY, « FONCTIONS ANALYTIQUES - Fonctions d'une variable complexe », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le . URL :

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Primitive d'une fonction analytique

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Théorème de Cauchy

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Autres références

  • FONCTIONS ANALYTIQUES (A.-L. Cauchy)

    • Écrit par Bernard PIRE
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    Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) a écrit 789 notes qui furent publiées pour la plupart aux Comptes rendus de l'Académie des sciences. Parmi les nombreux résultats importants qu’il a démontrés, ceux qui concernent les fonctions d'une variable complexe ont marqué un tournant décisif dans...

  • ANALYSE MATHÉMATIQUE

    • Écrit par Jean DIEUDONNÉ
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    ...exemple pour la fonction égale à exp (− 1/x 2) pour x ≠ 0 et à 0 pour x = 0, en prenant x 0 = 0). Il y a donc lieu de faire l'étude des fonctions, dites analytiques, qui, au voisinage de chaque point x 0 où elles sont définies, sont égales à leur série de Taylor en ce point. On savait depuis...

  • ANNEAUX & ALGÈBRES

    • Écrit par Jean-Luc VERLEY
    • 4 431 mots
    • 1 média
    ...fonctions analytiques à l'origine O du plan complexe. Considérons les couples (U, f ) d'un voisinage ouvert de O dans le plan complexe et d'une fonction f définie et analytique dans U. Nous dirons que deux tels couples (U, f ) et (V, g) définissent le même germe à l'origine si f et ...

  • ASYMPTOTIQUES CALCULS

    • Écrit par Jean-Louis OVAERT, Jean-Luc VERLEY
    • 5 500 mots
    • 1 média
    ... tReh(x+iy) , appelé le relief de e th(z) . Cette surface ne présente pas de « sommet » relatif, d'après le principe du maximum pour les fonctions analytiques, et, par suite, les seuls points où le plan tangent est horizontal (ce sont les points où la dérivée h′(z) s'annule), sont...

  • BOREL ÉMILE (1871-1956)

    • Écrit par Maurice FRÉCHET
    • 2 016 mots
    Sommation des séries divergentes. L'intervention fréquente des séries divergentes dans la théorie des fonctions analytiques, par exemple, conduisit Borel à rendre ces séries « convergentes » en un sens plus général ; dans son ouvrage Leçons sur les séries divergentes, il étudie...

  • DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) - Théorie linéaire

    • Écrit par Martin ZERNER
    • 4 723 mots
    Ce théorème s'applique aussi aux systèmes, pourvu qu'ils soient de la forme :
    où Φ est une fonction analytique de t, x, u et ses dérivées d'ordre total m au plus mais strictement plus petit que m en t. Il reste un des rares résultats très généraux de la théorie. Il a été publié par ...
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