FONCTIONS ANALYTIQUESFonctions d'une variable complexe

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Les coefficients de la série de Taylor

La formule (10) qui donne une expression intégrale des coefficients du développement en série entière va nous donner de précieux renseignements.

La propriété de moyenne

Considérons tout d'abord le terme constant de la formule de Taylor. On a, pour n = 0 dans (10) :

par translation, on aurait, pour tout point a ∈ U :
pour tout r assez petit. Cette relation exprime que la valeur de f en a est égale à la valeur moyenne de f sur les cercles de centre a et de rayon r assez petit, ce qu'on exprime en disant que f possède la propriété de moyenne. Il est clair que la partie réelle et la partie imaginaire de f possèdent encore ces propriétés : ce sont des fonctions harmoniques.

Le principe du maximum

Une importante conséquence de la propriété de moyenne est le principe du maximum, que l'on peut énoncer ainsi : Soit U un ouvert connexe du plan complexe et f une fonction analytique dans U ; s'il existe un point a ∈ U tel que l'on ait |(z)| ≤ |f (a)| dans tout un disque de centre a (on dit alors que la fonction |f| a un maximum relatif en a), alors f est constante dans l'ouvert U.

Pour cela, remarquons d'abord que, si f(a) = 0, alors on a f(z) = 0 dans tout un voisinage de a, d'où f = 0 dans U tout entier. Supposons donc (a) ≠ 0 ; multipliant f par une constante complexe, on se ramène au cas où (a) est réel positif. D'après le principe du prolongement analytique, il suffit de montrer que f est constante dans un voisinage de a.

Soit R tel que |f (z)| ≤ f (a) pour |z − a| < R, et limitons-nous à des valeurs r < R ; soit M(r) la borne supérieure de f(z) pour |z| = r. D'après l'hypothèse, on a donc M(r) ≤ f (a). De plus, d'après la propriété de moyenne (14), on a f(a) ≤ M(r) et, par suite, (a) = M(r). Considérons la fonction u(z) qui est la partie réelle de (a) − (z), u(z) = (a) − Ref (z) ; on a u(z) ≥ 0, puisque Re ≤ |f| et u(z) = 0 si et seulement si (z) = (a). Or u est la partie réelle d'une fonction holomorphe, donc possède la propriété de moyenne : sa moyenne sur le cercle |z − a| = r est égale à g(a), donc nulle :

puisque u e [...]

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  • : maître de conférences honoraire à l'université de Paris-VII

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Pour citer l’article

Jean-Luc VERLEY, « FONCTIONS ANALYTIQUES - Fonctions d'une variable complexe », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 24 octobre 2021. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/fonctions-analytiques-fonctions-d-une-variable-complexe/