FONCTIONS ANALYTIQUES Fonctions d'une variable complexe
Théorèmes d'approximation
Le théorème de Runge affirme que, si U est un ouvert du plan complexe et A un ensemble ayant un point dans chaque composante connexe du complémentaire de U, alors toute fonction f analytique dans U est limite uniforme sur tout compact dans U d'une suite de fractions rationnelles dont les pôles appartiennent à A. Dans le cas particulier où U est borné et « sans trous », ce qui veut dire que C − U est connexe, alors f est limite uniforme sur tout compact d'une suite de polynômes.
Le théorème de S. N. Mergelyan est un résultat difficile, publié en 1954 ; il affirme que, si K est un compact du plan complexe, de complémentaire connexe, toute fonction continue sur K, holomorphe dans l'intérieur de K, est limite uniforme sur K de polynômes.
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Écrit par
- Jean-Luc VERLEY : maître de conférences honoraire à l'université de Paris-VII
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Jean-Luc VERLEY, « FONCTIONS ANALYTIQUES - Fonctions d'une variable complexe », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le . URL :
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Primitive
Primitive d'une fonction analytique
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Théorème de Cauchy
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Démonstration du théorème de Cauchy
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Autres références
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FONCTIONS ANALYTIQUES (A.-L. Cauchy)
- Écrit par Bernard PIRE
- 159 mots
Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) a écrit 789 notes qui furent publiées pour la plupart aux Comptes rendus de l'Académie des sciences. Parmi les nombreux résultats importants qu’il a démontrés, ceux qui concernent les fonctions d'une variable complexe ont marqué un tournant décisif dans...
-
ANALYSE MATHÉMATIQUE
- Écrit par Jean DIEUDONNÉ
- 7 504 mots
...exemple pour la fonction égale à exp (− 1/x 2) pour x ≠ 0 et à 0 pour x = 0, en prenant x 0 = 0). Il y a donc lieu de faire l'étude des fonctions, dites analytiques, qui, au voisinage de chaque point x 0 où elles sont définies, sont égales à leur série de Taylor en ce point. On savait depuis... -
ANNEAUX & ALGÈBRES
- Écrit par Jean-Luc VERLEY
- 4 431 mots
- 1 média
...fonctions analytiques à l'origine O du plan complexe. Considérons les couples (U, f ) d'un voisinage ouvert de O dans le plan complexe et d'une fonction f définie et analytique dans U. Nous dirons que deux tels couples (U, f ) et (V, g) définissent le même germe à l'origine si f et ... -
ASYMPTOTIQUES CALCULS
- Écrit par Jean-Louis OVAERT, Jean-Luc VERLEY
- 5 500 mots
- 1 média
... tReh(x+iy) , appelé le relief de e th(z) . Cette surface ne présente pas de « sommet » relatif, d'après le principe du maximum pour les fonctions analytiques, et, par suite, les seuls points où le plan tangent est horizontal (ce sont les points où la dérivée h′(z) s'annule), sont... -
BOREL ÉMILE (1871-1956)
- Écrit par Maurice FRÉCHET
- 2 016 mots
-
DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) - Théorie linéaire
- Écrit par Martin ZERNER
- 4 723 mots
Ce théorème s'applique aussi aux systèmes, pourvu qu'ils soient de la forme :où Φ est une fonction analytique de t, x, u et ses dérivées d'ordre total m au plus mais strictement plus petit que m en t. Il reste un des rares résultats très généraux de la théorie. Il a été publié par ...
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Voir aussi
- CONVERGENCE, mathématiques
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- DÉTERMINATION PRINCIPALE DU LOGARITHME
- CAUCHY-RIEMANN ÉQUATIONS DE
- CAUCHY FORMULE INTÉGRALE DE
- MÉROMORPHE FONCTION
- POINT SINGULIER
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