FONCTIONS ANALYTIQUES Fonctions d'une variable complexe
Prolongement analytique
Logarithme complexe
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Logarithme complexe
Prolongement analytique de la détermination principale du logarithme complexe
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On se propose d'étudier ici la possibilité de prolonger une fonction f analytique dans un ouvert U à un ouvert plus grand. Pour tout point a ∈ U, la série de Taylor de f en a converge dans le plus grand disque ouvert D contenu dans U (cf. chap. 2) ; mais, comme on l'a déjà signalé ci-dessus, il se peut fort bien que le disque de convergence Δ de cette série « déborde » de U. La somme de la série dans Δ est alors une fonction analytique dans Δ qui, d'après le principe du prolongement analytique (cf. chap. 1), coïncide avec f dans la composante connexe de U ∩ Δ qui contient D. Cependant, si U ∩ Δ n'est pas connexe, on ne peut pas affirmer en général que f se prolonge en une fonction analytique dans U ∪ Δ. Prenons pour exemple, pour U, le plan complexe privé des nombres réels négatifs ou nul U = C − R- et, pour f, la détermination principale du logarithme (cf. chap. 4). Pour z0 = x0 + iy0, x0 < 0, y0 > 0, le disque de convergence de la série de Taylor de ln z en z0 est le disque de centre z0 qui passe par O, car la dérivée 1/z de ln z est analytique dans C* = C − {O}. Ici Δ ∩ U a deux composantes connexes et la somme de la série de Taylor en z0 n'est pas égale à f (z) pour z ∈ Δ ∩ U, Im z < 0, car Im (ln z) = Arg z subit une discontinuité en « traversant » R- ∩ Δ, ce qui exclut la possibilité de prolonger f à U ∪ Δ. L'examen de ces phénomènes a priori surprenants conduit à des extensions de la notion de fonction analytique et aux surfaces de Riemann. Pour éviter des difficultés du type précédent, nous raisonnerons ici sur des disques, car l'intersection de deux disques est toujours connexe.
Points singuliers et points réguliers
Soit f une fonction analytique dans un disque ouvert D ; on dira qu'un point frontière u est un point régulier pour f s'il existe un disque ouvert D1 de centre u et une fonction g analytique dans D1 qui coïncide avec f dans D ∪ D1. On peut alors prolonger f en une fonction analytique dans D ∪ D1, d'après le principe du prolongement analytique. Dans le cas contraire, on dit que u est un point singulier pour f. Il est clair que les points réguliers forment un ouvert de la frontière de D.
Remarquons que le fait, pour u, d'être un point régulier ou singulier n'a rien à voir avec la nature de la convergence de la série de Taylor de f en u. Par exemple,
Éléments analytiques
Pour étudier les problèmes posés par le prolongement analytique, nous introduirons une nouvelle notion due, sous cette forme, à Weierstrass.
On appelle élément de fonction analytique, ou, en abrégé, élément analytique de centre a le couple (a, S) d'un nombre complexe a et d'une série entière S (de centre a) de rayon de convergence strictement positif ; par abus de langage, on désignera encore par S, dans ce qui suit, la somme de la série S dans son disque de convergence. Par exemple, toute fonction analytique dans un ouvert U définit un élément analytique de centre a en tout point a ∈ U.
On dit que deux éléments analytiques (a, S) et (b, T) sont le prolongement[...]
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Écrit par
- Jean-Luc VERLEY : maître de conférences honoraire à l'université de Paris-VII
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Pour citer cet article
Jean-Luc VERLEY, « FONCTIONS ANALYTIQUES - Fonctions d'une variable complexe », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le . URL :
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Primitive d'une fonction analytique
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Théorème de Cauchy
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Théorème de Cauchy
Démonstration du théorème de Cauchy
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Autres références
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FONCTIONS ANALYTIQUES (A.-L. Cauchy)
- Écrit par Bernard PIRE
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Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) a écrit 789 notes qui furent publiées pour la plupart aux Comptes rendus de l'Académie des sciences. Parmi les nombreux résultats importants qu’il a démontrés, ceux qui concernent les fonctions d'une variable complexe ont marqué un tournant décisif dans...
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ANALYSE MATHÉMATIQUE
- Écrit par Jean DIEUDONNÉ
- 7 504 mots
...exemple pour la fonction égale à exp (− 1/x 2) pour x ≠ 0 et à 0 pour x = 0, en prenant x 0 = 0). Il y a donc lieu de faire l'étude des fonctions, dites analytiques, qui, au voisinage de chaque point x 0 où elles sont définies, sont égales à leur série de Taylor en ce point. On savait depuis... -
ANNEAUX & ALGÈBRES
- Écrit par Jean-Luc VERLEY
- 4 431 mots
- 1 média
...fonctions analytiques à l'origine O du plan complexe. Considérons les couples (U, f ) d'un voisinage ouvert de O dans le plan complexe et d'une fonction f définie et analytique dans U. Nous dirons que deux tels couples (U, f ) et (V, g) définissent le même germe à l'origine si f et ... -
ASYMPTOTIQUES CALCULS
- Écrit par Jean-Louis OVAERT, Jean-Luc VERLEY
- 5 500 mots
- 1 média
... tReh(x+iy) , appelé le relief de e th(z) . Cette surface ne présente pas de « sommet » relatif, d'après le principe du maximum pour les fonctions analytiques, et, par suite, les seuls points où le plan tangent est horizontal (ce sont les points où la dérivée h′(z) s'annule), sont... -
BOREL ÉMILE (1871-1956)
- Écrit par Maurice FRÉCHET
- 2 016 mots
-
DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) - Théorie linéaire
- Écrit par Martin ZERNER
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Ce théorème s'applique aussi aux systèmes, pourvu qu'ils soient de la forme :où Φ est une fonction analytique de t, x, u et ses dérivées d'ordre total m au plus mais strictement plus petit que m en t. Il reste un des rares résultats très généraux de la théorie. Il a été publié par ...
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Voir aussi
- CONVERGENCE, mathématiques
- LIOUVILLE THÉORÈME DE
- DÉTERMINATION PRINCIPALE DU LOGARITHME
- CAUCHY-RIEMANN ÉQUATIONS DE
- CAUCHY FORMULE INTÉGRALE DE
- MÉROMORPHE FONCTION
- POINT SINGULIER
- RÉSIDUS THÉORÈME DES
- PROLONGEMENT ANALYTIQUE
- RIEMANN SURFACE DE
- POINT RÉGULIER
- RUNGE THÉORÈME DE
- SCHWARZ PRINCIPE DE SYMÉTRIE DE
- PÔLE, mathématiques
- SCHWARZ LEMME DE
- ZÉROS ISOLÉS PRINCIPE DES
- ZÉRO ORDRE D'UN
- SÉRIES ENTIÈRES
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- FONCTION ANALYTIQUE ÉLÉMENT DE
- MITTAG-LEFFLER THÉORÈME DE
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- INDICE D'UN POINT
- LAURENT SÉRIES DE
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- LACET, mathématiques
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